Розрахунок балок на прогин. Максимальний прогин балки: формула

Балка – елемент в інженерії, являє собою стрижень, який навантажують сили, що діють в напрямку, перпендикулярному стрижню. Діяльність інженерів часто включає в себе необхідність розрахунку прогину балки під навантаженням. Цією дія виконується для того, щоб обмежити максимальний прогин балки.

Типи

На сьогоднішній день в будівництві можуть використовуватися балки, виготовлені з різних матеріалів. Це може бути метал або дерево. Кожен конкретний випадок увазі під собою різні балки. При цьому розрахунок балок на прогин може мати деякі відмінності, які виникають за принципом різниці в будові і використовуваних матеріалів.

Дерев`яні балки

Сьогоднішнє індивідуальне будівництво на увазі під собою широке застосування балок, виготовлених з дерева. Практично кожна будова містить в собі дерев`яні перекриття. Балки з дерева можуть використовуватися як несучі елементи, їх застосовують при виготовленні підлог, а також в якості опор для перекриттів між поверхами.

Ні для кого не секрет, що дерев`яна, так само як і сталева балка, має властивість прогинатися під впливом навантажувальних сил. Стрілка прогину залежить від того, який матеріал використовується, геометричних характеристик конструкції, в якій використовується балка, і характеру навантажень.

Допустимий прогин балки формується з двох чинників:

• Відповідність прогину і допустимих значень.
• Можливість експлуатації будівлі з урахуванням прогину.

Проведені при будівництві розрахунки на міцність і жорсткість дозволяють максимально ефективно оцінити те, які навантаження зможе витримувати будівля в ході експлуатації. Також ці розрахунки дозволяють дізнатися, який саме буде деформація елементів конструкції в кожному конкретному випадку. Мабуть, ніхто не буде сперечатися з тим, що докладні і максимально точні розрахунки – це частина обов`язків інженерів-будівельників, однак з використанням декількох формул і навику математичних обчислень можна розрахувати всі необхідні величини самостійно.

Для того щоб зробити правильний розрахунок прогину балки, потрібно також брати до уваги той факт, що в будівництві поняття жорсткості і міцності є нерозривними. Спираючись на дані розрахунку міцності, можна приступати до подальших розрахунками щодо жорсткості. Варто відзначити, що розрахунок прогину балки – один з незамінних елементів розрахунку жорсткості.

Зверніть вашу увагу на те, що для проведення таких обчислень самостійно найкраще використовувати укрупнені розрахунки, вдаючись при цьому до досить простим схемами. При цьому також рекомендується робити невеликий запас в більшу сторону. Особливо якщо розрахунок стосується несучих елементів.

Розрахунок балок на прогин. Алгоритм роботи

Насправді алгоритм, за яким робиться такий розрахунок, досить простий. В якості прикладу розглянемо кілька спрощену схему проведення розрахунку, при цьому опустивши деякі специфічні терміни і формули. Для того щоб зробити розрахунок балок на прогин, необхідно виконати ряд дій в певному порядку. Алгоритм проведення розрахунків наступний:

• Складається розрахункова схема.
• Визначаються геометричні характеристики балки.
• Обчислюється максимальне навантаження на даний елемент.
• У разі виникнення необхідності перевіряється міцність бруса по вигинає моменту.
• Виробляється обчислення максимального прогину.

Як бачите, всі дії досить прості і цілком здійсненні.

Складання розрахункової схеми балки

Для того щоб скласти розрахункову схему, не потрібно великих знань. Для цього достатньо знати розмір і форму поперечного перерізу елемента, проліт між опорами і спосіб спирання. Прольотом є відстань між двома опорами. Приміром, ви використовуєте балки як опорні бруси перекриття для несучих стін будинку, між якими 4 м, то величина прольоту буде дорівнює 4 м.

Обчислюючи прогин дерев`яної балки, їх вважають вільно опертими елементами конструкції. В разі балки перекриття для розрахунку приймається схема з навантаженням, яка розподілена рівномірно. Позначається вона символом q. Якщо ж навантаження несе зосереджений характер, то береться схема з зосередженим навантаженням, обозначаемой F. Величина цього навантаження дорівнює вазі, який буде чинити тиск на конструкцію.

Момент інерції

Геометрична характеристика, яка отримала назву момент інерції, важлива при проведенні розрахунків на прогин балки. Формула дозволяє обчислити цю величину, ми наведемо її трохи нижче.

При обчисленні моменту інерції потрібно звертати увагу на те, що розмір цієї характеристики залежить від того, яка орієнтація елемента в просторі. При цьому спостерігається обернено пропорційна залежність між моментом інерції і величиною прогину. Чим менше значення моменту інерції, тим більше буде значення прогину і навпаки. Цю залежність досить легко відстежити на практиці. Кожна людина знає, що дошка, покладена на ребро, прогинається набагато менше, ніж аналогічна дошка, яка перебуває у нормальному положенні.

Підрахунок моменту інерції для балки з прямокутним перетином здійснюється за формулою:

J = b * h ^ 3/12, де:

b – ширина перерізу;

h – висота перерізу балки.

Обчислення максимального рівня навантаження

Визначення максимального навантаження на елемент конструкції проводиться з урахуванням цілого ряду факторів і показників. Зазвичай при обчисленні рівня навантаження беруть до уваги вагу 1 погонного метра балки, вага 1 квадратного метра перекриття, навантаження на перекриття тимчасового характеру і навантаження від перегородок на 1 квадратний метр перекриття. Також враховується відстань між балками, виміряний в метрах. Для прикладу обчислення максимального навантаження на дерев`яну балку приймемо усереднені значення, згідно з якими вага перекриття складає 60 кг / мsup2-, тимчасова навантаження на перекриття дорівнює 250 кг / мsup2-, перегородки будуть важити 75 кг / мsup2-. Вага самої балки дуже просто обчислити, знаючи її обсяг і щільність. Припустимо, що використовується дерев`яна балка перетином 0,15х0,2 м. У цьому випадку її вага становитиме 18 кг / пог.м. Також для прикладу приймемо відстань між брусами перекриття рівним 600 мм. У цьому випадку потрібний нам коефіцієнт складе 0,6.

У результаті обчислення максимального навантаження отримуємо наступний результат: q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг / м.

Коли значення отримано, можна переходити до розрахунку максимального прогину.

Обчислення значення максимального прогину

Коли проводиться розрахунок балки, формула відображує в собі всі необхідні елементи. При цьому варто враховувати, що формула, яка використовується для розрахунків, може мати дещо інший вигляд, якщо розрахунок проводиться для різних типів навантажень, які будуть впливати на балку.

Спочатку наведемо вашій увазі формулу, використовувану для розрахунку максимального прогину дерев`яної балки з розподіленим навантаженням.

f = -5 * q * l ^ 4/384 * E * J.

Зверніть увагу, що в даній формулі Е – це постійна величина, яка отримала назву модуль пружності матеріалу. Для деревини ця величина дорівнює 100 000 кгс / мsup2-.

Продовживши обчислення з нашими даними, використаними для прикладу, отримаємо те, що для балки з деревини, перетин якої становить 0,15х0,2 м, а довжина дорівнює 4 м, величина максимального прогину при впливі розподіленого навантаження дорівнює 0,83 см.

Звертаємо увагу, що коли проводиться розрахунок прогину з урахуванням схеми з зосередженим навантаженням, формула набуває наступний вигляд:

f = -F * l ^ 3/48 * E * J, де:

F – сила тиску на брус.

Також звертаємо увагу на те, що значення модуля пружності, що використовується в розрахунках, може відрізнятися для різних видів деревини. Вплив роблять не тільки порода дерева, а й вид бруса. Тому цільна балка з дерева, клеєний брус або оциліндрованої колоди матимуть різні модулі пружності, а значить, і різні значення максимального прогину.

Ви можете переслідувати різні цілі, здійснюючи розрахунок балок на прогин. Якщо ви хочете дізнатися межі деформації елементів конструкції, то по завершенні розрахунку стрілки прогину ви можете зупинитися. Якщо ж ваша мета – встановити рівень відповідності знайдених показників будівельним нормам, то їх потрібно порівняти з даними, що розміщені в спеціальних документах нормативного характеру.

Двотаврова балка

Зверніть увагу на те, що балки з двутавра застосовуються дещо рідше в силу їх форми. Проте також не варто забувати, що такий елемент конструкції витримує набагато більші навантаження, ніж куточок або швелер, альтернативою яких може стати двотаврова балка.

Розрахунок прогину двотаврової балки коштує виробляти в тому випадку, якщо ви збираєтеся використовувати її в якості потужного елемента конструкції.

Також звертаємо вашу увагу на те, що не для всіх типів балок з двотавра можна проводити розрахунок прогину. У яких же випадках дозволено розрахувати прогин двотаврової балки? Усього таких випадків 6, які відповідають шести типам двотаврових балок. Ці типи наступні:

• Балка однопролітного типу з рівномірно розподіленим навантаженням.
• Консоль з жорсткою закладенням на одному кінці і рівномірно розподіленим навантаженням.
• Балка з одного прольоту з консоллю з одного боку, до якої прикладається рівномірно розподілене навантаження.
• Однопролетная балка з шарнірним типом обпирання із зосередженою силою.
• Однопролетная шарнірно оперта балка з двома зосередженими силами.
• Консоль з жорсткою закладенням і зосередженої силою.

Металеві балки

Розрахунок максимального прогину однаковий, будь це сталева балка або ж елемент з іншого матеріалу. Головне – пам`ятати про тих величинах, які специфічні і постійні, як наприклад модуль пружності матеріалу. При роботі з металевими балками, важливо пам`ятати, що вони можуть бути виготовлені із сталі або ж з двотавра. Прогин металевої балки, виготовленої із сталі, обчислюється з урахуванням, що константа Е в даному випадку становить 2middot-105Мпа. Всі інші елементи, на зразок моменту інерції, обчислюються за алгоритмами, описаним вище.

Розрахунок максимального прогину для балки з двома опорами

В якості прикладу розглянемо схему, в якій балка знаходиться на двох опорах, а до неї прикладається зосереджена сила в довільній точці. До моменту прикладання сили балка являла собою пряму лінію, однак під впливом сили змінила свій вигляд і внаслідок деформації стала кривої.

Припустимо, що площина ХУ є площиною симетрії балки на двох опорах. Всі навантаження діють на балку в цій площині. У цьому випадку фактом буде те, що крива, отримана в результаті дії сили, також буде перебувати в цій площині. Дана крива одержала назву пружної лінії балки або ж лінії прогинів балки. Алгебраїчно вирішити пружну лінію балки і розрахувати прогин балки, формула якого буде постійною для балок з двома опорами, можна таким чином.

Прогин на відстані z від лівої опори балки при 0 le- z le- a

F (z) = (P * a²* b²) / (6E * J * l) * (2 * z / a + z / b-z³/ a²* b)

Прогин балки на двох опорах на відстані z від лівої опори при а le- z le-l

f (z) = (- P * a²* b²) / (6E * J * l) * (2 * (l-z) / b + (l-z) / a- (l-z)³/ a + b²), Де Р – прикладається сила, Е – модуль пружності матеріалу, J – осьовий момент інерції.

У разі балки з двома опорами момент інерції обчислюється таким чином:

J = b₁h₁³/ 12, де b₁ і h₁ - значення ширини і висоти перерізу використовуваної балки відповідно.

Висновок

На закінчення можна зробити висновок про те, що самстоятельно обчислити величину максимального прогину балки різних типів досить просто. Як було показано в цій статті, головне – знати деякі характеристики, які залежать від матеріалу і його геометричних характеристик, а також провести обчислення за кількома формулами, в яких кожен параметр має своє пояснення і не береться з нізвідки.