Парадокс Монті Холла

Спробуємо розібрати давно гучну задачку, опубліковану 23 роки тому в журналі "Parade Magazine" і стала своєрідним відлунням відомого американського шоу "Давайте укладемо угоду" (у перекладі). В основах завдання стояв парадокс Монті Холла.

Спробуємо відновити описувані події. Уявіть себе учасником проведеного тоді шоу. Вас підводять до трьох дверей і дають можливість вказати лише на одну, попередивши при цьому, що за кожними дверима заховані призи. Головним призом є ключі від шикарного автомобіля, які ви заберете, якщо відкриєте "правильну" двері, за рештою дверима сховали втішні призи, а точніше - по козлу. Звичайно, втішний приз вас не потішить, - вас цікавить головний приз.

Після довгого роздуму ви в нерішучості вказуєте на одну з дверей (скажімо, на першому). Про те, що являє парадокс Монті Холла, ви, зрозуміло, не знаєте, а тому просто вповаєте на те, що чудеса все-таки часом трапляються.

Але ведучий чомусь відкриває не ту двері, на яку вирішили вказати ви, а іншу (він-то точно знає, де саме заховані ключики). І відкриває він ту двері, за якими сховали козла. Скажімо, третій. Ведучий полегшує завдання, надаючи тепер для вибору тільки двоє дверей. Мало того, він пропонує ще раз подумати і дозволяє назвати інші двері, якщо у вас з`явилися сумніви.

Чи збільшиться шанс забрати ключі, якщо ви зміните рішення і вкажете на інші двері? Подумайте хвилинку. На чому зупиніться?

Правильна відповідь: відкриваючи інші двері, ви збільшуєте шанси на отримання ключів вдвічі. Сумніваєтеся? Багато хто сумнівається. Але саме в цьому і полягає парадокс Монті Холла.

Пояснення парадоксу в наступному. Припустимо, ви вибираєте тепер перші двері. Уявімо двері у вигляді двох величин (значень). Величину А позначимо перший (обрану тільки що вами) двері, а величиною В - залишилися двері. Вірогідність попадання ключів в А становить 1/3, а можливість потрапляння ключів в другу величину В дорівнює, відповідно, 2/3. Згодні? Далі. Якби у вас з`явилася можливість відкрити другу і третю двері, схилившись на користь величини В, то шанси поїхати на автомобілі стало б удвічі більше.

Розглянемо це пильніше. Ви впевнені, що у величині В напевно є козел (мінімум один) і, можливо, ключі. Відкриття одних дверей особливо, начебто, положення не змінює: по раніше залишаються дві можливості: виграш автомобіля і виграш козла. Але, зупинившись на величині В, ймовірність виграшу ви все-таки збільшите до 2/3, адже для величини А ймовірність становить лише 1/3.

Ще один, вже схематичний, приклад:

д1 Д2 Д3 зміна вибору без зміни вибору
до ж ж ж до
ж до ж до ж
ж ж до до ж

де д1 - двері перша, Д2 - двері друга, Д3 - двері третя, ж - тварина (козел), к - ключі (машина).

Деякі не приймають парадокс Монті Холла всерйоз, стверджуючи, що ймовірність виграшу ключів і раніше 50/50 ("або-або"). Але багаторазова перевірка все-таки підтверджує: теорія має своє обґрунтоване право на існування і спрацьовує в 2/3 випадків з усіх представлених. Скажімо, з тридцяти представлених можливостей зіграти вам вдасться знайти правильну відповідь у двадцяти. А це досить високий відсоток.

І часто саме парадокс Монті Холла використовують гравці, роблячи ставки на рулетці, або граючи в карти. Чому ж тоді вони програють? Відповідь очевидна: губить жадібність. Або азарт. Як завгодно. Знявши банк, гравець вже не в силах зупинити розбушувалися почуття і робить ще одну ставку, вже забуваючи про теорію. А адже програш ніхто не відміняв. Мова йде про процентне співвідношення виграшу до програшу.

Парадокс Монті Холла доводить: після відкритої двері з козлом грає завжди вигідніше змінити первинний вибір, оскільки шанси все-таки збільшуються. Ось такі от вони, парадокси теорії ймовірності.

Якщо ж пояснення залишилося вам незрозумілим, спробуйте проігнорувати поки ці доводи і перевірте теорію статистично (або, якщо завгодно, експериментально, в серії експериментів). Подібна математика завжди захоплююча. Удачі!