Математичний маятник: період, прискорення і формули

Механічна система, яка складається з матеріальної точки (тіла), що висить на нерозтяжної невагомою нитки (її маса мізерно мала в порівнянні з вагою тіла) в однорідному полі тяжіння, називається математичним маятником (інша назва - осцилятор). Бувають і інші види цього пристрою. Замість нитки може бути використаний невагомий стержень. Математичний маятник може наочно розкрити суть багатьох цікавих явищ. При малої амплітуді коливання його рух називається гармонійним.

Загальні відомості про механічній системі

Формула періоду коливання цього маятника була виведена голландським ученим Гюйгенсом (1629-1695 рр.). Цей сучасник І. Ньютона дуже захоплювався даної механічною системою. У 1656 р він створив перші години з маятниковий механізмом. Вони вимірювали час з винятковою для тих часів точністю. Цей винахід став найважливішим етапом у розвитку фізичних експериментів і практичної діяльності.

Якщо маятник знаходиться в положенні рівноваги (висить прямовисно), то сила тяжіння буде врівноважуватися силою натягу нитки. Плоский маятник на нерозтяжної нитки є системою з двома ступенями свободи зі зв`язком. При зміні всього одного компонента змінюються характеристики всіх її частин. Так, якщо нитку замінити на стрижень, то у даній механічної системи буде всього 1 ступінь свободи. Якими ж властивостями володіє математичний маятник? У цій найпростішої системі під впливом періодичного збурення виникає хаос. У тому випадку, коли точка підвісу не рухається, а робить коливання, у маятника з`являється нове положення рівноваги. При швидких коливаннях вгору-вниз ця механічна система набуває стійке положення «догори ногами». У неї є і свою назву. Її називають маятником Капіци.

Властивості маятника

Математичний маятник має дуже цікаві властивості. Всі вони підтверджуються відомими фізичними законами. Період коливань будь-якого іншого маятника залежить від різних обставин, таких як розмір і форма тіла, відстань між точкою підвісу і центром ваги, розподіл маси щодо даної точки. Саме тому визначення періоду висить тіла є досить складним завданням. Набагато легше обчислюється період математичного маятника, формула якого буде наведена нижче. У результаті спостережень над подібними механічними системами можна встановити такі закономірності:

• Якщо, зберігаючи однакову довжину маятника, підвішувати різні вантажі, то період їх коливань вийде однаковим, хоча їх маси будуть сильно відрізнятися. Отже, період такого маятника не залежить від маси вантажу.

• Якщо при запуску системи відхиляти маятник на не надто великі, але різні кути, то він стане коливатися з однаковим періодом, але з різних амплітудам. Поки відхилення від центру рівноваги не надто великі, коливання за своєю формою будуть досить близькі гармонійним. Період такого маятника ніяк не залежить від колебательной амплітуди. Це властивість даної механічної системи називається ізохронізмом (у перекладі з грецької «Хронос» - час, «изос» - рівний).

Період математичного маятника

Цей показник являє собою період власних коливань. Незважаючи на складне формулювання, сам процес дуже простий. Якщо довжина нитки математичного маятника L, а прискорення вільного падіння g, то ця величина дорівнює:

T = 2pi-radic-L / g

Період малих власних коливань ні в якій мірі не залежить від маси маятника і амплітуди коливань. У цьому випадку маятник рухається як математичний з наведеної завдовжки.

Коливання математичного маятника

Математичний маятник здійснює коливання, які можна описати простим диференціальним рівнянням:

x + omega-2 sin x = 0,

де х (t) - невідома функція (це кут відхилення від нижнього положення рівноваги в момент t, виражений в радіанах) - omega- - позитивна константа, яка визначається з параметрів маятника (omega- = radic-g / L, де g - це прискорення вільного падіння, а L - довжина математичного маятника (підвіс).

Рівняння малих коливань поблизу положення рівноваги (гармонійне рівняння) виглядає так:

x + omega-2 sin x = 0

Коливальні рухи маятника

Математичний маятник, який здійснює малі коливання, рухається по синусоїді. Диференціальне рівняння другого порядку відповідає всім вимогам і параметрам такого руху. Для визначення траєкторії необхідно задати швидкість і координату, з яких потім визначаються незалежні константи:

x = A sin (theta-₀ + omega-t),

де theta-₀ - початкова фаза, A - амплітуда коливання, omega- - циклічна частота, що визначається з рівняння руху.

Математичний маятник (формули для великих амплітуд)

Дана механічна система, що здійснює свої коливання зі значною амплітудою, підкоряється більш складним законам руху. Для такого маятника вони розраховуються за формулою:

sin x / 2 = u * sn (omega-t / u),

де sn - синус Якобі, який для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (epsilon- + omega-2) / 2omega-2,

де epsilon- = E / mL2 (mL2 - енергія маятника).

Визначення періоду коливання нелінійного маятника здійснюється за формулою:

T = 2pi- / Omega-,

де Omega- = pi- / 2 * omega- / 2K (u), K - еліптичний інтеграл, pi- - 3,14.

Рух маятника по сепаратріси

Сепаратріси називають траєкторію динамічної системи, у якій двовимірне фазовий простір. Математичний маятник рухається по ній неперіодично. У нескінченно далекому моменті часу він падає з крайнього верхнього положення в сторону з нульовою швидкістю, потім поступово набирає її. Зрештою він зупиняється, повернувшись у вихідне положення.

Якщо амплітуда коливань маятника наближається до числа pi-, це говорить про те, що рух на фазовій площині наближається до сепаратріси. У цьому випадку під дією малої змушує періодичної сили механічна система проявляє хаотична поведінка.

При відхиленні математичного маятника від положення рівноваги з деяким кутом phi- виникає дотична сили тяжіння Ftau- = -mg sin phi-. Знак «мінус» означає, що ця дотична складова спрямовується в протилежний від відхилення маятника сторону. При позначенні через x зміщення маятника по дузі кола з радіусом L його кутовий зсув дорівнює phi- = x / L. Другий закон Ісаака Ньютона, призначений для проекцій вектора прискорення і сили, дасть шукане значення:

mg tau- = Ftau- = -mg sin x / L

Виходячи з цього співвідношення, видно, що цей маятник являє собою нелінійну систему, оскільки сила, яка прагне повернути його в положення рівноваги, завжди пропорційна не усунуте x, а sin x / L.

Тільки тоді, коли математичний маятник здійснює малі коливання, він є гармонійним осцилятором. Іншими словами, він стає механічною системою, здатною виконувати гармонійні коливання. Таке наближення практично справедливо для кутів в 15-20 °. Коливання маятника з великими амплітудами не є гармонійним.

Закон Ньютона для малих коливань маятника

Якщо дана механічна система виконує малі коливання, 2-й закон Ньютона буде виглядати таким чином:

mg tau- = Ftau- = -m * g / L * x.

Виходячи з цього, можна зробити висновок, що тангенціальне прискорення математичного маятника пропорційно його зміщення зі знаком «мінус». Це і є умовою, завдяки якому система стає гармонійним осцилятором. Модуль коефіцієнта пропорційності між зміщенням і прискоренням дорівнює квадрату кругової частоти:

omega-02 = g / L- omega-0 = radic- g / L.

Ця формула відображає власну частоту малих коливань цього виду маятника. Виходячи з цього,

T = 2pi- / omega-0 = 2pi-radic- g / L.

Обчислення на основі закону збереження енергії

Властивості коливальних рухів маятника можна описати і за допомогою закону збереження енергії. При цьому слід враховувати, що потенційна енергія маятника в полі тяжіння дорівнює:

E = mg? H = mgL (1 - cos alpha-) = mgL2sin2 alpha- / 2

Повна механічна енергія дорівнює кінетичної або максимальної потенційної: Epmax = Ekmsx = E

Після того як буде записаний закон збереження енергії, беруть похідну від правої і лівої частин рівняння:

Ep + Ek = const

Оскільки похідна від постійних величин дорівнює 0, то (Ep + Ek) `= 0. Похідна суми дорівнює сумі похідних:

Ep `= (mg / L * x2 / 2)` = mg / 2L * 2x * x `= mg / L * v + Ek` = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) `= m / 2 * 2v * v `= mv * alpha-,

отже:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m alpha-) = 0.

Виходячи з останньої формули знаходимо: alpha- = - g / L * x.

Практичне застосування математичного маятника

Прискорення вільного падіння змінюється з географічною широтою, оскільки щільність земної кори по всій планеті не однакова. Там, де залягають породи з більшою щільністю, воно буде дещо вищою. Прискорення математичного маятника нерідко застосовують для геологорозвідки. У його допомогою шукають різні корисні копалини. Просто підрахувавши кількість коливань маятника, можна виявити в надрах Землі кам`яне вугілля або руду. Це пов`язано з тим, що такі копалини мають щільність і масу більше, ніж лежать під ними пухкі гірські породи.

Математичним маятником користувалися такі видатні вчені, як Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архімед. Багато хто з них вірили в те, що ця механічна система може впливати на долю і життя людини. Архімед використовував математичний маятник при своїх обчисленнях. У наш час багато окультисти і екстрасенси користуються цією механічною системою для здійснення своїх пророцтв або пошуку зниклих людей.

Відомий французький астроном і природознавець К. Фламмарион для своїх досліджень також використовував математичний маятник. Він стверджував, що з його допомогою йому вдалося передбачити відкриття нової планети, поява Тунгуського метеорита і інші важливі події. Під час Другої світової війни в Німеччині (м Берлін) працював спеціалізований Інститут маятника. У наші дні подібними дослідженнями зайнятий Мюнхенський інститут парапсихології. Свою роботу з маятником співробітники цього закладу називають «радіестезіей».