Що таке умовна ймовірність і як її правильно розраховувати?

Нерідко в житті ми стикаємося з тим, що потрібно оцінити шанси настання якої-небудь події. Чи варто купувати лотерейний квиток чи ні, яким буде пів третьої дитини в сім`ї, чи буде завтра ясна погода чи знову піде дощ - таких прикладів можна навести безліч. У самому простому випадку слід розділити число сприятливих результатів на загальне число подій. Якщо у лотереї 10 квитків виграшних, а всього їх 50, то шанси отримати приз рівні 10/50 = 0,2, тобто 20 проти 100. А як чинити в тому випадку, якщо є кілька подій, і вони тісно пов`язані між собою? У цьому випадку нас буде цікавити вже не проста, а умовна ймовірність. Що це за величина і як її можна порахувати - про це якраз і буде розказано в нашій статті.

Поняття

Умовна ймовірність - це шанси настання певної події за умови, що інше пов`язане з ним подія вже відбулася. Розглянемо простий приклад з киданням монетки. Якщо жеребкування ще не було, то шанси випадання орла чи решки будуть однаковими. Але якщо разів п`ять поспіль монетка лягала гербом вгору, то погодьтеся очікувати 6-го, 7-го, а тим більше 10-го повторення такого результату буде нелогічно. З кожним повторним разом випадання орла, шанси появи решки ростуть і рано чи пізно вона таки випаде.

Формула умовної ймовірності

Давайте тепер розберемося з тим, як ця величина розраховується. Позначимо перша подія через В, а другий через А. Якщо шанси настання У відмінні від нуля, то тоді буде справедливим наступне рівність:

Р (А | В) = Р (АВ) / Р (В), де:

• Р (А | В) - умовна ймовірність підсумку А;
• Р (АВ) - ймовірність спільного появи подій А і В;
• Р (В) - ймовірність події В.

Злегка перетворивши дане співвідношення отримаємо Р (АВ) = Р (А | В) * Р (В). А якщо застосувати метод індукції, то можна вивести формулу твори і використовувати її при довільному числі подій:

Р (А₁, А₂, А₃,... А_п) = Р (А₁| А₂... А_п) * Р (А₂| А₃... А_п) * Р (А₃| А₄... А_п) ... Р (А_п-1| А_п) * Р (А_п).

Практика

Щоб було легше розібратися з тим, як розраховується умовна ймовірність події, розглянемо парочку прикладів. Припустимо є ваза, в якій знаходяться 8 шоколадних цукерок і 7 м`ятних. За розмірами вони однакові і навмання послідовно витягуються дві з них. Які будуть шанси того, що обидві з них виявляться шоколадними? Введемо позначення. Нехай підсумок А означає, що перша цукерка шоколадна, підсумок В - друга цукерка шоколадна. Тоді вийде наступне:

Р (А) = Р (В) = 8/15,

Р (А | В) = Р (В | А) = 7/14 = 1/2,

Р (АВ) = 8/15 х 1/2 = 4/15 asymp- 0,27

Розглянемо ще один випадок. Припустимо, є Двухдетная сім`я і нам відомо, що, принаймні, одна дитина є дівчинкою. Яка умовна ймовірність того, що хлопчиків в цих батьків поки немає? Як і в попередньому випадку, почнемо з позначень. Нехай Р (В) - ймовірність того, що в сім`ї є хоча б одна дівчинка, Р (А | В) - ймовірність того, що друга дитина теж дівчинка, Р (АВ) - шанси того, що в сім`ї дві дівчинки. Тепер зробимо розрахунки. Всього може бути 4 різних комбінацій статі дітей і при цьому лише в одному випадку (коли в сім`ї два хлопчика), дівчатка серед дітей не буде. Тому ймовірність Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тоді слідуючи нашій формулі отримаємо:

Р (А | В) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Інтерпретувати результат можна так: якби нам не було б відомо про полі одного з дітей, то шанси двох дівчаток були б 25 проти 100. Але оскільки ми знаємо, що одна дитина дівчинка, ймовірність того, що в сім`ї хлопчиків немає, зростає до однієї третьою.