Бінарні відносини та їх властивості

Широкий спектр відносин на прикладі множин супроводжується великою кількістю понять, починаючи з їх визначень і закінчуючи аналітичним розбором парадоксів. Різноманітність обговорюваного в статті поняття на безлічі нескінченно. Хоча, коли говорять про подвійні типи, під цим маються на увазі бінарні відносини між декількома величинами. А також між об`єктами або висловлюваннями.

Як правило, бінарні відносини позначаються символом R, тобто, якщо xRx для будь-якого значення x з поля R, така властивість називають рефлексивним, в якому x і х - це прийняті об`єкти думки, а R служить знаком про те чи іншому вигляді взаємозв`язку між індивідами . У той же час якщо виражати xRy® або yRx, то це говорить про стан симетрії, де ® - знак імплікації, схожий на союз «якщо ..., то ...". І, нарешті, розшифровка напису (xRy Ugrave-y Rz) ®xRz розповість про транзитивної взаємозв`язку, причому знак Ugrave- - це кон`юнкція.

Бінарне відношення, яке буває одночасно рефлексивним, симетричним і транзитивним, називається взаємозв`язком еквівалентності. Ставлення f - це функція, і з <х, у> Icirc- f і <х, z> Icirc- f випливає рівність y = z. Проста бінарна функція може бути легко застосовна до двох нескладним аргументам, розташованим в певному порядку, і лише в цьому випадку вона надає їй значення, спрямоване цим двом виразами, узятим в конкретному випадку.

Слід говорити, що f відображає x на y, якщо f служить функцією із зоною визначення x і зоною значень y. Однак коли f екстраполює x на y, і y Iacute- z, то це призводить до того, що f показує x в z. Простий приклад: якщо f (x) = 2x справедливо для достовірно будь-якого цілого х, то кажуть, що f відображає знакова безліч всіх відомих цілих чисел у безліч тих же цілих, але на цей раз парних чисел. Як уже згадувалося вище, бінарні відносини, які одночасно рефлексивно, симетричні і транзитивних, є взаємозв`язками еквівалентності.

Виходячи з вищесказаного, взаємозв`язки еквівалентності бінарних відносин визначаються властивостями:

• рефлексивності - співвідношення (M ~ N) ;
• симетричності - якщо рівність M ~ N, то буде N ~ M;
• транзитивності - якщо дві рівності M ~ N і N ~ P, то в результаті M ~ P.

Розглянемо заявлені властивості бінарних відносин докладніше. Рефлексивність - це одна з характеристик деяких зв`язків, де кожен елемент досліджуваної безлічі перебуває в даній рівності сам собі. Наприклад, між числами а = с і аsup3- с - рефлексивні зв`язку, оскільки завжди а = а, с = с, аsup3- а, сsup3- с. В той же час ставлення нерівності а> с - антирефлексивне через неможливість існування нерівності а> а. Аксіома цієї властивості кодується знаками: aRc® aRa Ugrave- cRc, тут символ ® означає слово "тягне" (або "имплицирует"), а знак Ugrave- - виступає союзом "і" (або кон`юнкція). З цього твердження випливає, що в разі істинності судження aRc також правдиві та вирази aRa і cRc.

Симетричність тягне за собою наявність відносини і в тому випадку, якщо розумові об`єкти поміняти місцями, тобто при симетричній взаємозв`язку перестановка об`єктів не призводить до трансформації виду "бінарні відносини". Наприклад, зв`язок рівності а = с симетрична з причини еквівалентності відносини з = а- також однаково і судження аsup1-с, так як воно відповідає зв`язку сsup1-а.

Транзитивне безліч - це така властивість, при якому виконується наступну вимогу: у Icirc- х, z Icirc- y ® z Icirc- x, де ® виступає знаком, який заміняє слова: "якщо ..., то ...". Вербально читається формула таким чином: «Якщо у залежить від х, z належить у, то z також залежить від х".