Що таке рівність? Перша ознака і принципи рівності

«Рівність» - це тема, яку учні проходять ще в початковій школі. Супроводжує їй також їй «Нерівності». Ці два поняття тісно взаємопов`язані. Крім того, з ними пов`язують такі терміни, як рівняння, тотожності. Отже, що таке рівність?

Поняття рівності

Під цим терміном розуміють висловлювання, в записі яких є знак «=». Рівності поділяються на вірні і невірні. Якщо в запису замість = коштує <, >, тоді мова йде про неравенствах. До речі, перша ознака рівності говорить про те, що обидві частини виразу ідентичні за своїм результатом або запису.

Крім поняття рівності, в школі вивчають також тему «Числове рівність». Під цим висловом розуміють два числових вирази, які стоять по обидві сторони від знака =. Наприклад, 2 * 5 + 7 = 17. Обидві частини записи рівні між собою.

У числових виразах подібного типу можуть використовуватися дужки, що впливають на порядок дій. Отже, існує 4 правила, які слід врахувати при обчисленні результатів числових виразів.

1. Якщо в запису немає дужок, тоді дії виконуються з вищого ступеня: III-II-I. Якщо є декілька дій однієї категорії, тоді вони виконуються зліва направо.
2. Якщо в запису є дужки, тоді дія виконується в дужках, а потім з урахуванням ступенів. Можливо, в дужках буде декілька дій.
3. Якщо вираз представлено у вигляді дробу, тоді обчислювати потрібно спочатку чисельник, потім знаменник, потім чисельник ділиться на знаменник.
4. Якщо в запису є вкладені дужки, тоді обчислюється спочатку вираз у внутрішніх дужках.

Отже, тепер зрозуміло, що така рівність. Надалі будуть розглянуті поняття рівняння, тотожності і способи їх обчислення.

Властивості числових рівностей

Що таке рівність? Вивчення цього поняття вимагає знання властивостей числових тотожностей. Наведені нижче текстові формули дозволяють краще вивчити дану тему. Звичайно, ці властивості більше підходять для вивчення математики в старших класах.

1. Числове рівність не буде порушено, якщо в обох його частинах додати одне і те ж число до існуючого висловом.

А = В harr- А + 5 = В + 5

2. Не буде порушено рівняння, якщо обидві його частини помножити або розділити на одне і те ж число або вираз, які відмінні від нуля.

Р = О harr- Р • 5 = О • 5

Р = О harr- Р: 5 = О: 5

3. Додавши до обох частин тотожності однакову функцію, яка має сенс при будь-яких допустимих значеннях змінної, ми отримаємо нове рівність, рівносильне первісному.

F (X) = Psi-(X) harr- F (X) + R (X) = Psi-(X) + R (X)

4. Будь доданок або вираз можна перенести по інший бік знака рівності, при цьому потрібно поміняти знаки на протилежні.

Х + 5 = У - 20 harr- Х = У - 20 - 5 harr- Х = У - 25

5. Помноживши або розділивши обидві частини рівняння на одну і ту ж функцію, відмінну від нуля і має сенс для кожного значення Х з ОДЗ, ми отримаємо нове рівняння, рівносильне первісному.

F (X) = Psi- (X) harr- F (X) • R (X) = Psi- (X) • R (X)

F (X) = Psi-(X) harr- F (X): G (X) = Psi-(X): G (X)

Наведені правила в явній мірі вказують на принцип рівності, який існує за певних умов.

Поняття пропорції

У математиці існує таке поняття, як рівність відносин. У цьому випадку мається на увазі визначення пропорції. Якщо розділити А на В, то результатом буде відношення числа А до числа В. пропорції називають рівність двох відносин:

Іноді пропорція записується таким чином: A: B = C: D. Звідси випливає основна властивість пропорції: A * D = D * C, де A і D - крайні члени пропорції, а В і С - середні.

Тотожності

Тотожністю називають рівність, яке буде вірно при всіх допустимих значеннях тих змінних, які входять до завдання. Тотожності можуть бути представлені як літерні або числові рівності.

Тотожно рівними називаються вирази, що містять в обох частинах рівності невідому змінну, яка здатна прирівняти дві частини одного цілого.

Якщо проводити заміни одного виразу іншим, яке буде дорівнює йому, тоді мова йде про тотожній перетворенні. У цьому випадку можна скористатися формулами скороченого множення, законами арифметики та іншими тотожністю.

Щоб скоротити дріб, потрібно провести тотожні перетворення. Наприклад, дана дріб. Щоб отримати результат, слід скористатися формулами скороченого множення, розкладанням на множники, спрощенням виразів і скороченням дробів.

При цьому варто врахувати, що даний вираз буде тотожним тоді, коли знаменник нічого очікувати дорівнює 3.

5 способів довести тотожність

Щоб довести рівність тотожне, потрібно провести перетворення виразів.

I спосіб

Необхідно провести рівносильні перетворення в лівій частині. У результаті виходить права частина, і можна говорити про те, що тотожність доведено.

II спосіб

Всі дії з перетворення виразу відбуваються в правій частині. Підсумком пророблених маніпуляцій є ліва частина. Якщо обидві частини ідентичні, то тотожність доведено.

III спосіб

«Трансформації» відбуваються в обох частинах вирази. Якщо в результаті вийдуть дві ідентичні частини, тотожність доведено.

IV спосіб

З лівої частини віднімається права. В результаті рівносильних перетворень повинен вийти нуль. Тоді можна говорити про тотожність вираження.

V спосіб

З правої частини віднімається ліва. Всі рівносильні перетворення зводяться до того, щоб у відповіді стояв нуль. Тільки в такому випадку можна говорити про тотожність рівності.

Основні властивості тотожностей

У математиці часто використовують властивості рівностей, щоб прискорити процес обчислення. Завдяки основним алгебраїчним тотожностям процес обчислення деяких висловів займе лічені хвилини замість довгих годин.

• Х + У = У + Х
• Х + (У + С) = (Х + У) + С
• Х + 0 = Х
• Х + (-Х) = 0
• Х • (У + С) = Х • У + Х • З
• Х • (У - С) = Х • У - Х • З
• (Х + У) • (С + Е) = Х • З + Х • Е + У • З + У • Е
• Х + (У + С) = Х + У + З
• Х + (У - С) = Х + У - З
• Х - (У + С) = Х - У - З
• Х - (У - С) = Х - У + С
• Х • У = У • Х
• Х • (У • З) = (Х • У) • З
• Х • 1 = Х
• Х • 1 / Х = 1, де Х ne- 0

Формули скороченого множення

За своєю суттю формули скороченого множення є равенствами. Вони допомагають вирішити безліч завдань в математиці завдяки своїй простоті і легкості у зверненні.

• (А + В)² = А² + 2 • А • В + В² - квадрат суми пари чісел;

• (А - В)² = А² - 2 • А • В + В² - квадрат різниці пари чісел;

• (С + В) • (С - В) = С² - В² - різниця квадратов;

• (А + В)³ = А³ + 3 • А²• В + 3 • А • В² + В³ - куб суми;

• (А - В)³ = А³ - 3 • А²• В + 3 • А • В² - В³ - куб разності;

• (Р + В) • (Р² - Р • В + В²) = Р³ + В³ - сума кубов;

• (Р - В) • (Р² + Р • В + В²) = Р³ - В³ - різниця кубів.

Формули скороченого множення часто застосовуються, якщо необхідно привести многочлен до звичного вигляду, спростивши його всіма можливими способами. Представлені формули доводяться просто: достатньо розкрити дужки і привести подібні доданки.

Рівняння

Після вивчення питання, що таке рівність, можна приступати до наступного пункту: що таке рівняння. Під рівнянням розуміється рівність, в якому присутні невідомі величини. Рішенням рівняння називають знаходження всіх значень змінної, при яких обидві частини всього висловлювання будуть рівні. Також зустрічаються завдання, в яких знаходження рішень рівняння неможливо. У такому випадку говорять, що коріння немає.

Як правило, рівності з невідомими як рішення видають цілі числа. Проте можливі випадки, коли коренем є вектор, функція та інші об`єкти.

Рівняння є одним з найважливіших понять в математиці. Більшість наукових і практичних завдань не дозволяють виміряти або обчислити яку-небудь величину. Тому необхідно складати співвідношення, яке задовольнить усі умови поставленого завдання. У процесі складання такого співвідношення з`являється рівняння або система рівнянь.

Зазвичай рішення рівності з невідомим зводиться до перетворення складного рівняння і відома його до простих форм. Необхідно пам`ятати, що перетворення потрібно проводити щодо обох частин, в іншому випадку на виході вийде невірний результат.

4 способи вирішити рівняння

Під рішенням рівняння розуміють заміну заданого рівності іншим, яке рівносильне першого. Така підміна відома як тотожне перетворення. Щоб вирішити рівняння, необхідно скористатися одним із способів.

1. Одне вираз замінюється іншим, яке в обов`язковому порядку буде тотожним першому. Приклад: (3 • х + 3)²= 15 • х + 10. Цей вираз можна перетворити в 9 • х²+18 • х + 9 = 15 • х + 10.

2. Перенесення членів рівності з невідомим з однієї сторони в іншу. У такому випадку необхідно правильно міняти знаки. Найменша помилка погубить всю виконану роботу. Як приклад візьмемо попередній «зразок».

9 • х² + 12 • х + 4 = 15 • х + 10

9 • х² + 12 • х + 4 - 15 • х - 10 = 0

9 • х² - 3 • х - 6 = 0

Далі рівняння вирішується за допомогою дискримінанта.

3. Перемноження обох частин рівності на рівне число або вираз, що не дорівнюють 0. Проте варто нагадати, що якщо нове рівняння не буде рівносильним рівності до перетворень, тоді кількість коренів може суттєво змінитися.

4. Зведення в квадрат обох частин рівняння. Цей спосіб просто чудовий, особливо коли в рівності є ірраціональні вирази, тобто квадратний корінь і вираз під ним. Тут є один нюанс: якщо звести рівняння в парну ступінь, тоді можуть з`явитися сторонні корені, які спотворять суть завдання. І якщо неправильно витягти корінь, тоді сенс питання в задачі буде неясний. Приклад: |7 • х| = 35 - 1) 7 • х = 35 і 2) - 7 • х = 35 - рівняння буде вирішено вірно.

Отже, в цій статті згадуються такі терміни, як то рівняння і тотожності. Всі вони походять від поняття «рівність». Завдяки різного роду рівносильним виразами рішення деяких завдань значною мірою полегшено.