Що таке фрактал? Фрактали в природі

Найчастіше геніальні відкриття, вчинені в науці, здатні кардинально змінювати наше життя. Так, наприклад, винахід вакцини може врятувати безліч людей, а створення нового озброєння призводить до вбивства. Буквально вчора (у масштабі історії) людина «приборкав» електрику, а сьогодні вже не може уявити своє життя без нього. Однак існують і такі відкриття, які, що називається, залишаються в тіні, причому незважаючи на те, що вони також надають той чи інший вплив на наше життя. Одним з таких відкриттів став фрактал. Більшість людей навіть не чули про таке поняття і не зможуть пояснити його значення. У цій статті ми спробуємо розібратися з питанням про те, що таке фрактал, розглянемо значення цього терміна з позиції науки і природи.

Порядок в хаосі

Для того щоб зрозуміти, що таке фрактал, слід було б почати розбір польотів з позиції математики, однак перш ніж заглиблюватися в точні науки, ми трохи пофілософствуємо. Кожній людині притаманна природна допитливість, завдяки якій він і пізнає навколишній світ. Найчастіше у своєму прагненні пізнання він намагається оперувати логікою в судженнях. Так, аналізуючи процеси, які відбуваються навколо, він намагається вирахувати взаємозв`язку і вивести певні закономірності. Найбільші уми планети зайняті вирішенням цих завдань. Грубо кажучи, наші вчені шукають закономірності там, де їх немає, та й бути не повинно. І тим не менше навіть у хаосі є зв`язок між тими чи іншими подіями. Ось цим зв`язком і виступає фрактал. Як приклад розглянемо зламану гілку, що валяється на дорозі. Якщо уважно до неї придивитися, то ми побачимо, що вона з усіма своїми відгалуженнями і сучками сама схожа на дерево. Ось ця схожість окремої частини з єдиним цілим свідчить про так званий принцип рекурсивного самоподібності. Фрактали в природі можна знайти скрізь і всюди, адже багато неорганічних і органічних форми формуються аналогічно. Це і хмари, і морські раковини, і раковини равликів, і крони дерев, і навіть кровоносна система. Даний список можна продовжувати до нескінченності. Всі ці випадкові форми з легкістю описує фрактальний алгоритм. Ось ми підійшли до того, щоб розглянути, що таке фрактал з позиції точних наук.

Трохи сухих фактів

Саме слово «фрактал» з латини перекладається як "частковий", "розділений", "роздроблений", а що стосується змісту цього терміна, то формулювання як такої не існує. Зазвичай його трактують як самоподібні безліч, частина цілого, яка повторюється своєю структурою на мікрорівні. Цей термін придумав в сімдесятих роках ХХ століття Бенуа Мандельброт, який визнаний батьком фрактальної геометрії. Сьогодні під поняттям фрактала увазі графічне зображення якоїсь структури, яка при збільшеному масштабі буде подібна сама собі. Проте математична база для створення цієї теорії була закладена ще до народження самого Мандельброта, а ось розвиватися вона не могла, поки не з`явилися електронні обчислювальні машини.

Історична довідка, або Як все починалося

На рубежі 19-20 століть вивчення природи фракталів носило епізодичний характер. Це пояснюється тим, що математики воліли вивчати об`єкти, які піддаються дослідженню, на основі загальних теорій і методів. У 1872 році німецьким математиком К. Вейерштрасом був побудований приклад неперервної функції, ніде не дифференцируемой. Однак це побудова виявилася цілком абстрактним і важким для сприйняття. Далі пішов швед Хельге фон Кох, який в 1904 році побудував безперервну криву, яка не має ніде дотичній. Її досить легко намалювати, і, як виявилося, вона характеризується фрактальними властивостями. Один з варіантів даної кривої назвали на честь її автора - «сніжинка Коха». Далі ідею самоподібності фігур розвивав майбутній наставник Б. Мандельброта француз Поль Леві. У 1938 році він опублікував статтю «Плоскі та просторові криві і поверхні, що складаються з частин, подібних цілого». У ній він описав новий вид - С-криву Леві. Всі перераховані вище фігури умовно відносяться до такого виду, як геометричні фрактали.

Динамічні, або алгебраїчні фрактали

До даного класу відноситься безліч Мандельброта. Першими дослідниками цього напряму стали французькі математики П`єр Фату і Гастон Жюліа. У 1918 році Жюліа опублікував роботу, в основі якої лежало вивчення ітерацій раціональних комплексних функцій. Тут він описав сімейство фракталів, які близько пов`язані з безліччю Мандельброта. Незважаючи на те що дана робота прославила автора серед математиків, про неї швидко забули. І тільки через півстоліття завдяки комп`ютерам працю Жюліа отримав друге життя. ЕОМ дозволили зробити видимим для кожної людини ту красу і багатство світу фракталів, які могли «бачити» математики, відображаючи їх через функції. Мандельброт став першим, хто використав комп`ютер для проведення обчислень (вручну такий обсяг неможливо провести), що дозволили побудувати зображення цих фігур.

Людина з просторовою уявою

Мандельброт починав свою наукову кар`єру в дослідницькому центрі IBM. Вивчаючи можливості передачі даних на великі відстані, вчені зіткнулися з фактом великих втрат, які виникали через шумових перешкод. Бенуа шукав шляхи вирішення цієї проблеми. Переглядаючи результати вимірювань, він звернув увагу на дивну закономірність, а саме: графіки шумів виглядали однаково в різному масштабі часу. Аналогічна картина спостерігалася як для періоду в один день, так і для семи днів або для години. Сам Бенуа Мандельброт часто повторював, що він працює не з формулами, а грає з картинками. Цей учений відрізнявся образним мисленням, будь-яку алгебраїчну задачу він перекладав в геометричну область, де правильний відповідь очевидна. Так що не дивно, що така людина, відрізняється багатим просторовим мисленням, і став батьком фрактальної геометрії. Адже усвідомлення даної фігури може прийти тільки тоді, коли вивчаєш малюнки і вдумуватися в сенс цих дивних завихрень, що утворюють візерунок. Фрактальні малюнки не мають ідентичних елементів, однак володіють подібними при будь-якому масштабі.

Жюліа - Мандельброт

Одним з перших малюнків цієї фігури була графічна інтерпретація множини, яка народилася завдяки роботам Гастона Жюліа і була доопрацьована Мандельбротом. Гастон намагався уявити, як виглядає безліч, побудоване на базі простої формули, яка проітерірована циклом зворотного зв`язку. Спробуємо сказане пояснити людською мовою, так би мовити, на пальцях. Для конкретного числового значення за допомогою формули знаходимо нове значення. Підставляємо його в формулу і знаходимо наступне. У результаті виходить велика числова послідовність. Для подання такого безлічі потрібно проробити цю операцію безліч разів: сотні, тисячі, мільйони. Це і проробив Бенуа. Він обробив послідовність і переніс результати в графічну форму. Згодом він розфарбував отриману фігуру (кожен колір відповідає певному числу ітерацій). Дане графічне зображення отримало ім`я «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: мистецтво, створене природою

Теорія фракталів досить швидко знайшла практичне застосування. Так як вона вельми тісно пов`язана з візуалізацією самоподібних образів, то першими, хто взяв на озброєння принципи та алгоритми побудови цих незвичайних форм, стали художники. Першим з них став майбутній засновник студії Pixar Лорен Карпентер. Працюючи над презентацією прототипів літаків, йому в голову прийшла ідея в якості фону використовувати зображення гір. Сьогодні з таким завданням зможе впоратися практично кожен користувач комп`ютера, а в сімдесятих роках минулого століття ЕОМ були не в змозі виконувати такі процеси, адже графічних редакторів та програм для тривимірної графіки на той момент ще не було. І ось Лорену попалася книга Мандельброта «Фрактали: форма, випадковість і розмірність». У ній Бенуа приводив безліч прикладів, показуючи, що існують фрактали в природі (фива), він описував їх різноманітну форму і доводив, що вони легко описуються математичними виразами. Дану аналогію математик приводив як аргумент корисності розроблюваної ним теорії у відповідь на шквал критики від своїх колег. Вони стверджували, що фрактал - це всього лише красива картинка, яка не має ніякої цінності, що є побічним результатом роботи електронних машин. Карпентер вирішив випробувати цей метод на практиці. Уважно вивчивши книгу, майбутній аніматор став шукати спосіб реалізації фрактальної геометрії в комп`ютерній графіці. Йому знадобилося всього три дні, щоб візуалізувати цілком реалістичне зображення гірського ландшафту на своєму комп`ютері. І сьогодні цей принцип широко використовується. Як виявилося, створення фракталів не займає багато часу і сил.

Рішення Карпентера

Принцип, використаний Лореном, виявився простий. Він полягає в тому, щоб розділити більші геометричні фігури на дрібні елементи, а ті - на аналогічні меншого розміру, і так далі. Карпентер, використовуючи великі трикутники, дробив їх на 4 дрібних, і так далі, до тих пір, поки у нього не вийшов реалістичний гірський пейзаж. Таким чином, він став першим художником, який застосував фрактальний алгоритм в комп`ютерній графіці для побудови необхідного зображення. Сьогодні цей принцип використовується для імітації різних реалістичних природних форм.

Перша 3D-візуалізація на фрактальному алгоритмі

Вже через кілька років Лорен застосував свої напрацювання в масштабному проекті - анімаційному ролику Vol Libre, показаному на Siggraph в 1980 році. Це відео шокувало багатьох, і його творець був запрошений працювати в Lucasfilm. Тут аніматор зміг реалізуватися повною мірою, він створив тривимірні ландшафти (цілу планету) для повнометражного фільму "Star Trek". Будь-яка сучасна програма («Фрактали») або додаток для створення тривимірної графіки (Terragen, Vue, Bryce) використовує все той же алгоритм для моделювання текстур і поверхонь.

Том Беддард

У минулому лазерний фізик, а нині цифрових справ майстер і художник, Беддард створив ряд дуже інтригуючих геометричних фігур, які назвав фрактали Фаберже. Зовні вони нагадують декоративні яйця російського ювеліра, на них такий же блискучий хитромудрий узор. Беддард використовував шаблонний метод для створення своїх цифрових візуалізацій моделей. Отримані вироби вражають своєю красою. Хоч багато хто відмовляється порівнювати продукт ручної роботи з комп`ютерною програмою, проте слід визнати, що отримані форми надзвичайно красиві. Родзинка полягає в тому, що побудувати такий фрактал зможе будь-хто, скориставшись програмної бібліотекою WebGL. Вона дозволяє досліджувати в реальному часі різні фрактальні структури.

Фрактали в природі

Мало хто звертає увагу, але ці дивовижні фігури присутні всюди. Природа створена з самоподібних фігур, просто ми цього не помічаємо. Досить подивитися через збільшувальне скло на нашу шкіру або листок дерева, і ми побачимо фрактали. Або взяти, приміром, ананас або навіть хвіст павича - вони складаються з подібних фігур. А сорт капусти броколі романеско взагалі вражає своїм виглядом, адже це справді можна назвати дивом природи.

Музична пауза

Виявляється, фрактали - це не тільки геометричні фігури, вони можуть бути і звуками. Так, музикант Джонатан Колтон пише музику за допомогою фрактальних алгоритмів. Він стверджує, що така мелодія відповідає природної гармонії. Композитор всі свої твори публікує під ліцензією CreativeCommons Attribution-Noncommercial, яка передбачає вільне розповсюдження, копіювання, передачу творів іншими особами.

Індикатор-фрактал

Дана методика знайшла вельми несподіване застосування. На її основі створено інструмент для аналізу ринку фондової біржі, і, як наслідок, його почали застосовувати на ринку «Форекс». Зараз індикатор-фрактал знаходиться на всіх торгових платформах і застосовується в торговельній техніці, яку називають ціновим проривом. Розробив цю методику Білл Вільямс. Як коментує свій винахід автор, даний алгоритм є поєднанням кількох «свічок», в якому центральна відображає максимальну або, навпаки, мінімальну екстремальну точку.

На закінчення

Ось ми і розглянули, що таке фрактал. Виявляється, в хаосі, який оточує нас, насправді існують ідеальні форми. Природа є кращим архітектором, ідеальним будівельником і інженером. Вона влаштована досить логічно, і якщо ми не можемо знайти закономірність, це не означає, що її немає. Можливо, потрібно шукати в іншому масштабі. З упевненістю можна сказати, що фрактали зберігають ще чимало секретів, які нам тільки належить відкрити.