Найпростіші логічні операції в інформатиці

Кожного, хто починає вивчати інформатику, вчать двійковій системі числення. Саме вона використовується для обчислення логічних операцій. Розглянемо нижче все самі елементарні логічні операції в інформатиці. Адже якщо задуматися, саме вони використовуються при створенні логіки обчислювальних машин і приладів.

Заперечення

Перед тим як почати докладно розглядати конкретні приклади, перерахуємо основні логічні операції в інформатиці:

• отріцаніе;
• сложеніе;
• умноженіе;
• следованіе;
• рівність.

Також перед початком вивчення логічних операцій варто сказати, що в інформатиці брехня позначається "0", а правда "1".

Для кожної дії, як і в звичайній математики, використовуються наступні знаки логічних операцій в інформатиці: ¬, v, , ->.

Кожна дія можливо описати або цифрами 1/0, або просто логічними виразами. Почнемо розгляд математичної логіки з найпростішої операції, що використовує всього одну змінну.

Логічне заперечення - операція інверсії. Суть полягає в тому, що якщо вихідне вираз - істина, то результат інверсії - брехня. І навпаки, якщо вихідне вираз - брехня, то результатом інверсії стане - правда.

При записи цього виразу використовується наступне позначення "¬A".

Наведемо таблицю істинності - схему, яка показує всі можливі результати операції при будь-яких вихідних даних.

Тобто, якщо у нас вихідне вираз - істина (1), то його заперечення буде хибним (0). А якщо вихідне вираз - брехня (0), то його заперечення - істина (1).

Додавання

Решта операції вимагають наявності двох змінних. Позначимо один вираз - А, друге - В. Логічні операції в інформатиці, що позначають дію додавання (або диз`юнкція), при написанні позначаються або словом "або", або значком "v". Розпишемо можливі варіанти даних і результати обчислень.

1. Е = 1, Н = 1, тоді Е v Н = 1. Якщо обидва вирази істинні, тоді і їх диз`юнкція також істинна.
2. Е = 0, Н = 1, у підсумку Е v Н = 1. Е = 1, Н = 0, тоді Е v Н = 1. Якщо хочаб один з виразів істинно, тоді й результат їх складання буде істиною.
3. Е = 0, Н = 0, результат Е v Н = 0. Якщо обидва вирази помилкові, то їх сума також - брехня.

Для стислості створимо таблицю істинності.

Множення

Розібравшись з операцією додавання, переходимо до множення (кон`юнкції). Скористаємося тими ж позначеннями, які були наведені вище для складання. При листі логічне множення позначається значком "", або літерою "І".

1. Е = 1, Н = 1, тоді Е Н = 1. Якщо обидва вирази істинні, тоді їх кон`юнкція - істина.
2. Якщо хоча б один з виразів - брехня, тоді результатом логічного множення також буде брехня.

• Е = 1, Н = 0, тому Е Н = 0.
• Е = 0, Н = 1, тоді Е Н = 0.
• Е = 0, Н = 0, підсумок Е Н = 0.

Слідство

Логічна операція прямування (імплікація) - одна з найпростіших в математичній логіці. Вона заснована на єдиній аксіомі - з правди не може слідувати брехня.

1. Е = 1, Н =, тому Е -> Н = 1. Якщо пара закохана, то вони можуть цілуватися - правда.
2. Е = 0, Н = 1, тоді Е -> Н = 1. Якщо пара не закохана, то вони можуть цілуватися - також може бути істиною.
3. Е = 0, Н = 0, з цього Е -> Н = 1. Якщо пара не закохана, то вони і не цілуються - теж правда.
4. Е = 1, Н = 0, результатом буде Е -> Н = 0. Якщо пара закохана, то вони не цілуються - брехня.

Для полегшення виконання математичних дій також наведемо таблицю істинності.

Рівність

Останньою розглянутої операцією стане логічне тотожна рівність або еквівалентність. У тексті воно може позначатися як "... тоді і тільки тоді, коли ...". Виходячи з цього формулювання, напишемо приклади для всіх вихідних варіантів.

1. А = 1, В = 1, тоді Аequiv-В = 1. Людина п`є таблетки тоді і тільки тоді, коли хворіє. (Істина)
2. А = 0, В = 0, в підсумку Аequiv-В = 1. Людина не п`є таблетки тоді і тільки тоді, коли не хворіє. (Істина)
3. А = 1, В = 0, тому Аequiv-В = 0. Людина п`є таблетки тоді і тільки тоді, коли не хворіє. (Неправда)
4. А = 0, В = 1, тоді Аequiv-В = 0. Людина не п`є таблетки тоді і тільки тоді, коли хворіє. (Неправда)

Властивості

Отже, розглянувши найпростіші логічні операції в інформатиці, можемо приступити до вивчення деяких їх властивостей. Як і в математиці, у логічних операцій існує свій порядок обробки. У великих логічних виразах операції в дужках виконуються в першу чергу. Після них насамперед підраховуємо всі значення заперечення в прикладі. Наступним кроком стане обчислення кон`юнкції, а потім диз`юнкції. Тільки після цього виконуємо операцію слідства і, нарешті, еквівалентності. Розглянемо невеликий приклад для наочності.

А v В ¬В -> В equiv- А

Порядок виконання дій наступний.

1. ¬В
2. В (¬В)
3. А v (В (¬В))
4. (А v (В (¬В))) -> В
5. ((А v (В (¬В))) -> В) equiv-А

Для того щоб вирішити цей приклад, нам буде потрібно побудувати розширену таблицю істинності. При її створенні пам`ятайте, що стовпці краще розташовувати в тому ж порядку, в якому і будуть виконуватися дії.

Як ми бачимо, результатом рішення прикладу стане останній стовпець. Таблиця істинності допомогла вирішити завдання з будь-якими можливими вихідними даними.

Висновок

У цій статті були розглянуті деякі поняття математичної логіки, такі як інформатика, властивості логічних операцій, а також - що таке логічні операції самі по собі. Були наведені деякі найпростіші приклади для вирішення завдань з математичної логіки і таблиці істинності, необхідні для спрощення цього процесу.