Кіл Ейлера. Кіл Ейлера - приклади в логіці

Леонард Ейлер (1707-1783) - відомий швейцарський і російський математик, член Петербурзької академії наук, більшу частину життя прожив у Росії. Найбільш відомим в математичному аналізі, статистиці, інформатики та логіці вважається коло Ейлера (діаграма Ейлера-Венна), використовуваний для позначення обсягу понять і множин елементів.

Джон Венн (1834-1923) - англійський філософ і логік, співавтор діаграми Ейлера-Венна.

Сумісні і несумісні поняття

Під поняттям в логіці розуміється форма мислення, відбиває істотні ознаки класу однорідних предметів. Вони позначаються одним або групою слів: «карта світу», «доминантовая квінтсептаккорд», «Понеділок» та ін.

У разі коли елементи обсягу одного поняття повністю або частково належать обсягу іншого, говорять про сумісних поняттях. Якщо ж жоден елемент обсягу певного поняття не належить до обсягу іншого, ми маємо місце з несумісними поняттями.

У свою чергу, кожний з видів понять має власний набір можливих відносин. Для сумісних понять це наступні:

• тотожність (рівнозначність) обсягів;
• перетин (частковий збіг) обсягів;
• підпорядкування (субординація).

Для несумісних:

• супідрядність (координація);
• протилежність (контрарность);
• протиріччя (Контрадикторні).

Схематично відносини між поняттями в логіці прийнято позначати за допомогою кіл Ейлера-Венна.

Відносини рівнозначності

В даному випадку поняття подразумевают один і той же предмет. Відповідно, обсяги даних понять повністю збігаються. Наприклад:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоаналізу.

Або:

А - квадрат;

В - рівносторонній прямокутник;

С - рівнокутний ромб.

Для позначення використовуються повністю збігаються кола Ейлера.

Перетин (частковий збіг)

У дану категорію входять поняття, що мають загальні елементи, що знаходяться в відношенні перехрещування. Тобто обсяг одного з понять частково входить в обсяг іншого:

А - педагог;

В - меломан.

Як видно з даного прикладу, обсяги понять частково збігаються: певна група педагогів може виявитися меломанами, і навпаки - серед меломанів можуть бути представники педагогічної професії. Аналогічне ставлення буде у випадку, коли в як поняття А виступає, наприклад, «городянин», а в якості В - «автоводії».

Підпорядкування (субординація)

Схематично позначаються як різні за масштабом кола Ейлера. Відносини між поняттями в даному випадку характеризуються тим, що підлегле поняття (менша за обсягом) повністю входить до складу підпорядковуючого (більшого за обсягом). При цьому підлегле поняття не вичерпує повністю підкоряє.

Наприклад:

А - дерево;

В - сосна.

Поняття В буде підлеглим по відношенню до поняття А. Так як сосна відноситься до дерев, то поняття А стає в даному прикладі підкоряють, «поглинає» обсяг поняття В.

Супідрядність (координація)

Ставлення характеризує два і більше поняття, що виключають одне одного, але належать при цьому певного загальному пологовому колу. Наприклад:

А - кларнет;

В - гітара;

С - скрипка;

D - музичний інструмент.

Поняття А, В, С не є пересічними по відношенню один до одного, тим не менше, всі вони відносяться до категорії музичних інструментів (поняття D).

Протилежність (контрарность)

Протилежні відносини між поняттями подразумевают віднесеність даних понять до одного і того ж роду. При цьому одне з понять має певні властивості (ознаками), у той час як інше їх заперечує, заміщаючи протилежними за характером. Таким чином, ми маємо справу з антонімами. Наприклад:

А - карлик;

В - велетень.

Коло Ейлера при протилежних відносинах між поняттями розділяється на три сегменти, перший з яких відповідає поняттю А, другий - поняттю В, а третій - всім іншим можливим поняттям.

Протиріччя (Контрадикторні)

В даному випадку обидва поняття являють собою види одного і того ж роду. Як і в попередньому прикладі, одне з понять вказує на певні якості (ознаки), у той час як інше їх заперечує. Однак, на відміну від ставлення протилежності, друге, протилежне поняття, не замінює заперечуються властивості іншими, альтернативними. Наприклад:

А - складне завдання;

В - нескладне завдання (не- А).

Висловлюючи обсяг понять подібного роду, коло Ейлера розділяється на дві частини - третього, проміжної ланки в даному випадку не існує. Таким чином, поняття також є антонімами. При цьому один із них (А) стає позитивним (що стверджують будь-якої ознака), а друге (В або не- А) - негативним (заперечливим відповідний ознака): «білий папір» - «не біла папір», «вітчизняна історія» - «зарубіжна історія» і т. д.

Таким чином, співвідношення обсягів понять по відношенню один до одного є ключовою характеристикою, що визначає кола Ейлера.

Відносини між множинами

Також слід розрізняти поняття елементів і множини, обсяг яких відображають кола Ейлера. Поняття множини запозичене з математичної науки і має досить широке значення. Приклади в логіці і математиці відображають його як певну сукупність об`єктів. Самі ж об`єкти є елементами даної множини. «Безліч є багато чого, мислиме як єдине» (Георг Кантор, засновник теорії множин).

Позначення множин здійснюється великими літерами: А, В, С, D ... і т. Д., Елементів множин - малими: а, b, с, d ... та ін. Прикладами безлічі можуть бути студенти, що перебувають в одній аудиторії, книги, які стоять на певній полиці (або, наприклад, всі книги в будь-якої певної бібліотеці), сторінки в щоденнику, ягоди на лісовій галявині і т. д.

У свою чергу, якщо певне безліч не містить жодного елемента, то його називають порожнім і позначають знаком Oslash-. Наприклад, безліч точок перетину паралельних прямих, безліч рішень рівняння х² = -5.

Вирішення задач

Для вирішення великої кількості завдань активно використовуються кола Ейлера. Приклади в логіці наочно демонструють зв`язок логічних операцій з теорією множин. При цьому використовуються таблиці істинності понять. Наприклад, коло, позначений ім`ям А, являє собою область істинності. Таким чином, область поза колом представлятиме брехня. Щоб визначити область діаграми для логічної операції, слід заштрихувати області, визначають коло Ейлера, в яких її значення для елементів А і В будуть істинні.

Використання кіл Ейлера знайшло широке практичне застосування в різних галузях. Наприклад, у ситуації з професійним вибором. Якщо суб`єкт стурбований вибором майбутньої професії, він може керуватися наступними критеріями:

W - що я люблю робити?

D - що в мене виходить?

P - чим я зможу добре заробляти?

Зобразимо це у вигляді схеми: кола Ейлера (приклади в логіці - відношення перетину):

Результатом стануть ті професії, які опиняться на перетині всіх трьох кіл.

Окреме місце кола Ейлера-Венна займають в математиці (теорія множин) при обчисленні комбінацій і властивостей. Кола Ейлера безлічі елементів укладені в зображенні прямокутника, що позначає універсальне безліч (U). Замість кіл також можуть використовуватися інші замкнуті фігури, але суть від цього не змінюється. Фігури перетинаються між собою, згідно з умовами задачі (у найбільш загальному випадку). Також дані фігури повинні бути позначені відповідним чином. В якості елементів розглянутих множин можуть виступати точки, розташовані всередині різних сегментів діаграми. На її основі можна заштрихувати конкретні області, позначивши тим самим новоутворені множини.

З даними множинами допустиме виконання основних математичних операцій: додавання (сума множин елементів), віднімання (різницю), множення (твір). Крім того, завдяки диаграммам Ейлера-Венна можна проводити операції порівняння множин по числу вхідних у них елементів, не рахуючи їх.