Кола Ейлера: приклади та можливості

Математика по своїй суті наука абстрактна, якщо відійти від елементарних понять. Так, на парі-трійці яблук можна наочно зобразити основні операції, що лежать в основі математики, але, як тільки площину діяльності розширюється, цих об`єктів стає недостатньо. Хто-небудь пробував зобразити на яблуках операції над нескінченними множинами? У тому-то й річ, що ні. Чим складніше ставали поняття, якими оперує математика у своїх судженнях, тим проблематичніше здавалося їх наочне вираження, яке було б покликане полегшити розуміння. Однак, на щастя як сучасних студентів, так і науки в цілому, були виведені кола Ейлера, приклади і можливості яких ми розглянемо нижче.

Трохи історії

17 квітня 1707 світ подарував науці Леонарда Ейлера - чудового вченого, чий внесок у математику, фізику, кораблебудування і навіть теорію музики не переоцінити. Праці його визнані і затребувані донині у всьому світі, незважаючи на те що наука не стоїть на місці. Особливо цікавим є той факт, що пан Ейлер взяв безпосередню участь у становленні російської школи вищої математики, тим більше що волею долі він двічі повертався в нашу державу. Вчений мав унікальну здатність вибудовувати прозорі в своїй логіці алгоритми, відсікаючи все зайве і в найкоротші терміни переходячи від загального до конкретного. Не будемо перераховувати всі його заслуги, так як це займе чималу кількість часу, і звернемося безпосередньо до теми статті. Саме він запропонував використовувати графічне зображення операцій над множинами. Кола Ейлера рішення будь-який, навіть самої складно складеної задачі, здатні зобразити наочно.

У чому ж суть?

На практиці кола Ейлера, схема яких зображена нижче, можуть застосовуватися не тільки в математиці, так як поняття "безлічі" притаманні не тільки даної дисципліни. Так, вони з успіхом застосовуються і в менеджменті.

Схема вище показує відносини множин А (Ірраціональні числа), В (раціональні числа) і С (Натуральні числа). Кола показують, що безліч С включено в безліч В, тоді як безліч А з ними ніяк не перетинається. Приклад найпростіший, але наочно пояснює специфіку "взаємин множин", які занадто абстрактні для реального порівняння хоча б в силу їх нескінченності.

Алгебра логіки

Дана область математичної логіки оперує висловлюваннями, які можуть носити як істинний, так і хибний характер. Наприклад, з елементарного: число 625 ділиться без остачі на 25, число 625 ділиться без остачі на 5, число 625 є простим. Перше і друге твердження - істина, тоді як останнє - брехня. Звичайно, на практиці все складніше, але суть показана ясно. І, звичайно ж, у вирішенні знову беруть участь кола Ейлера, приклади з їх використанням надто зручні і наочні, щоб їх ігнорувати.

Трохи теорії:

• Нехай множини А і В існують і не є порожніми, тоді для них визначено наступні операції перетину, об`єднання і заперечення.
• Перетин множин А і В складається з елементів, що належать одночасно як множині А, так і безлічі В.
• Об`єднання множин А і В складається з елементів, що належать безлічі А чи безлічі В.
• Заперечення безлічі А - це безліч, що складається з елементів, що не належать множині А.

Все це зображають знову ж кола Ейлера в логіці, так як з їх допомогою кожна задача, незалежно від ступеня складності, стає очевидною і наочною.

Аксіоми алгебри логіки

Покладемо, що 1 і 0 існують і визначені в безлічі А, тоді:

• заперечення заперечення безлічі А є безліч А;
• об`єднання безлічі А з не_А є 1;
• об`єднання безлічі А з 1 є 1;
• об`єднання безлічі А з самим собою є безліч А;
• об`єднання безлічі А з 0 є безліч А;
• перетин множини А з не_А є 0;
• перетин множини А з самим собою є безліч А;
• перетин множини А з 0 є 0;
• перетин множини А з 1 є безліч А.

Основні властивості алгебри логіки

Нехай множини А і В існують і не є порожніми, тоді:

• для перетину та об`єднання множин А і В діє переместительное закон;
• для перетину та об`єднання множин А і В діє сполучний закон;
• для перетину та об`єднання множин А і В діє розподільний закон;
• заперечення перетину множин А і В є перетин заперечень множин А і В;
• заперечення об`єднання множин А і В є об`єднання заперечень множин А і В.

Нижче показані кола Ейлера, приклади перетину та об`єднання множин А, В і С.

Перспективи

Роботи Леонарда Ейлера обгрунтовано вважаються базою сучасної математики, однак зараз їх з успіхом застосовують в областях людської діяльності, що з`явилися відносно недавно, взяти хоча б корпоративне управління: кола Ейлера, приклади і графіки описують механізми моделей розвитку, будь то російська або англо-американська версія .