Математична матриця. Множення матриць

Ще математики стародавнього Китаю використовували у своїх обчисленнях запис у вигляді таблиць з певною кількістю рядків і стовпців. Тоді подібні математичні об`єкти іменувалися як «чарівні квадрати». Хоча відомі й випадки використання таблиць в вигляді трикутників, які так і не набули широкого поширення.

На сьогоднішній день під математичної матрицею прийнято розуміти об`ёкт прямокутної форми із заданою кількістю стовпців і символів, які й визначають розміри матриці. У математиці така форма запису знайшла широке застосування для запису в компактному вигляді систем диференціальних, а також лінійних алгебраїчних рівнянь. Прийнято, що кількість рядків в матриці дорівнює числу присутніх в системі рівнянь, кількістю стовпців відповідає, скільки невідомих необхідно визначити в ході вирішення системи.

Крім того, що сама по собі матриця в ході її вирішення призводить до знаходження невідомих, закладених в умова системи рівнянь, існує ряд алгебраїчних операцій, які допускається здійснювати над даним математичним об`єктом. Цей перелік включає в себе додавання матриць, що мають однакові розміри. Множення матриць з підходящими розмірами (можна перемножити лише матрицю, з одного боку має кількість стовпців, рівне кількості рядків у матриці з іншого боку). Також допускається множити матрицю на вектор, або на елемент поля або основного кільця (інакше скаляр).

Розглядаючи множення матриць, слід уважно стежити, щоб кількість стовпців першої строго відповідало числу рядків другої. Інакше дане дійстві над матрицями буде не визначено. Згідно з правилом, за яким здійснюється множення матриці на матрицю, кожний елемент в новій матриці прирівнюється до суми добутків відповідних елементів з рядків першої матриці на елементи, взяті з стовпців інший.

Для наочності розглянемо приклад, як відбувається множення матриць. Беремо матрицю A

2 Березня -2

4 березня 0

-1 лютому -2,

множимо її на матрицю B

3 -2

1 0

4 -3.

Елемент першого рядка першого шпальти результуючої матриці дорівнює 2 * 3 + 3 * 1 + (- 2) * 4. Відповідно, в першому рядку у другому стовпці буде елемент рівний 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), і так далі до заповнення кожного елемента нової матриці. Правило множення матриць припускає, що результатом твори матриці з параметрами mxn на матрицю, що має співвідношення nxk, стане таблиця, яка володіє розмірами m x k. Слідуючи цьому правилу, можна зробити висновок, що твір так званих квадратних матриць відповідно одного порядку завжди визначено.

З властивостей, якими володіє множення матриць, слід виділити в якості одного з основних те, що ця операція не є комутативною. Тобто твір матриці M на N не дорівнює добутку N на M. Якщо в квадратних матрицях одного порядку спостерігається, що їх пряме і зворотне твору завжди визначені, відрізняючись лише результатом, то для прямокутних матриць подібна умова визначеності не завжди виконується.

У множення матриць існує ряд властивостей, які мають чіткі математичні докази. Асоціативність множення увазі вірність наступного математичного виразу: (MN) K = M (NK), де M, N, і K - матриці, що мають параметри, при яких множення визначено. Дистрибутивність множення припускає, що M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), де L - число.

Наслідком з властивості множення матриць, іменованого «асоціативність», випливає, що у творі, що містить від трьох і більше співмножників, допускається запис без використання дужок.

Використання властивості дистрибутивности дає можливість розкривати дужки при розгляді матричних виразів. Звертаємо увагу, якщо ми розкриваємо дужки, то потрібно зберігати порядок співмножників.

Використання матричних виразів дозволяє не тільки компактно проводити запис громіздких систем рівнянь, а й полегшує процес їх обробки і рішення.