Системи числення. Таблиця систем числення. Системи числення: інформатика

Люди не відразу навчилися рахувати. Первісне суспільство орієнтувалося на незначне число предметів - один чи два. Все, що було більше, за замовчуванням найменувалося "багато". Саме це вважається початком сучасної системи числення.

Коротка історична довідка

У процесі розвитку цивілізації у людей стала з`являтися необхідність розділяти невеликі сукупності предметів, об`єднані спільними ознаками. Стали виникати відповідні поняття: "три", "чотири" і так далі до "семи". Однак це був закритий, обмежений ряд, останнє поняття в якому продовжувало нести смислове навантаження більш раннього "багато". Яскравим прикладом цього є народний фольклор, який дійшов до нас у первозданному вигляді (наприклад, прислів`я "Сім разів відміряй - один раз відріж").

Виникнення складних способів рахунки

З плином часу життя і всі процеси діяльності людей ускладнювалися. Це призвело, у свою чергу, до виникнення більш складної системи числення. При цьому люди використовували для наочності вираження найпростіші інструменти рахунку. Знаходили вони їх навколо себе: вони креслили палички на стінах печери підручними засобами, робили зарубки, викладали їх цікавлять числа з палиць і каменів - ось лише невеликий список існуючого тоді різноманіття. Надалі сучасними вченими даному виду було присвоєно унікальну назву "унарна система обчислення". Її суть полягає в запису числа із застосуванням єдиного виду знаків. Сьогодні це найбільш зручна система, що дозволяє візуально зіставляти кількість предметів і знаків. Найбільшого поширення вона отримала в початкових класах шкіл (Рахункові палички). Спадком "камінцева рахунки" можна сміливо вважати сучасні апарати в їх різних модифікаціях. Цікаво і виникнення сучасного слова "калькуляція", коріння якого йдуть від латинського calculus, що перекладається не інакше як "камінчик".

Рахунок на пальцях

В умовах вкрай убогого словникового запасу первісної людини жести досить часто служили важливим доповненням до переданої інформації. Перевага пальців було в їх універсальності і в постійному перебуванні з об`єктом, який хотів передати інформацію. Однак тут є і суттєві недоліки: значна обмеженість і короткочасність передачі. Тому весь рахунок людей, які користувалися "пальцевим способом", обмежувався цифрами, кратними кількістю пальців: 5 - відповідає кількості пальців на одній руке- 10 - на обох руках-20 - загальна кількість на руках і ногах. Завдяки порівняно повільного розвитку числового запасу дана система проіснувала досить довгий часовий проміжок.

Перші удосконалення

З розвитком системи обчислення і розширенням можливостей і потреб людства максимальним використовуваним числом в культурах багатьох народів стало 40. Під ним також розумілося невизначений (не піддається рахунку) кількість. На Русі широкого поширення набуло вираз "сорок сороков". Його зміст зводився до кількості предметів, яке неможливо порахувати. Наступний щабель розвитку - це поява числа 100. Далі почалося поділ на десятки. Згодом стали з`являтися числа 1000, 10 000 і так далі, кожне з яких несло смислове навантаження, аналогічну семи і сорока. У сучасному світі кордону кінцевого рахунку не визначені. На сьогоднішній день введено універсальне поняття "нескінченність".

Цілі і дробові числа

Сучасні системи обчислення за найменшу кількість предметів беруть одиницю. У більшості випадків вона є неподільною величиною. Однак при більш точних вимірах вона також піддається дробленню. Саме з цим пов`язане з`явилося на певному етапі розвитку поняття дробового числа. Наприклад, вавилонська система грошей (ваг) становила 60 хв, що дорівнювало 1 Таланов. У свою чергу один міна прирівнювалася до 60 шекелів. Саме на основі цього вавилонська математика широко застосовувала шістдесяткова дроблення. Широко використовуються в Росії дробу прийшли до нас від стародавніх греків та індійців. При цьому самі записи ідентичні індійським. Незначна відмінність складає відсутність у останніх дробової риси. Греки зверху прописували чисельник, а знизу знаменник. Індійський варіант написання дробів отримав широкий розвиток в Азії і Європі завдяки двом ученим: Мухаммеду Хорезмського і Леонардо Фібоначчі. Римська система числення прирівнювала 12 одиниць, званих унциями, до цілого (1 ас), відповідно, в основі всіх обчислень лежали двенадцатірічние дробу. Разом із загальноприйнятими досить часто застосовувалися і спеціальні поділу. Так, наприклад, астрономами до XVII століття застосовувалися так звані шестидесятиричную дробу, які були згодом витиснені десятковими (ввів в ужиток Симон Стевін - вчений-інженер). В результаті подальшого прогресу людства виникла необхідність у ще більш значному розширенні числового ряду. Так з`явилися негативні, ірраціональні і комплексні числа. Знайомий усім нуль з`явився відносно недавно. Він почав застосовуватися при введенні в сучасні системи обчислення негативних чисел.

Використання непозиційних алфавіту

Що являє собою такий алфавіт? Для даної системи обчислення характерно, що значення цифр не змінюється від їх розстановки. Непозиційних алфавітом властиво наявність необмеженої кількості елементів. В основі систем, споруджуваних на базі даного виду алфавіту, лежить принцип адитивності. Іншими словами, загальне значення числа складається з суми всіх цифр, які включає запис. Виникнення непозиційних систем сталося раніше позиційних. Залежно від способу рахунки загальне значення числа визначається як різниця або сума всіх цифр, що входять до складу числа.

Існують недоліки таких систем. Серед основних слід виділяти:

• введення нових чисел при формуванні великого числа;
• неможливість відобразити негативні і дробові числа;
• складність виконання арифметичних дій.

В історії людства застосовувалися різні системи числення. Найбільш відомими вважаються: грецька, римська, алфавітна, унарна, давньоєгипетська, вавилонська.

Один з найбільш поширених способів рахунки

Римська нумерація, що збереглася до наших днів практично в незмінному вигляді, є однією з найвідоміших. За допомогою неї позначаються різні дати, ювілейні в тому числі. Також вона знайшла широке застосування в літературі, науці та інших сферах життя. У римській системі числення використовуються всього сім букв латинського алфавіту, кожна з яких відповідає певному числу: I = 1 V = 5 X = 10- L = 50- С = 100- D = 500- M = 1000.

Виникнення

Саме походження римських цифр незрозуміло, історія не зберегла точних даних їх появи. При цьому безсумнівним є факт: значний вплив на римську нумерацію справила п`ятіркова система обчислення чисел. Однак у латинській мові відсутні згадки про неї. На цій підставі виникла гіпотеза про запозичення древніми римлянами своєї системи в іншого народу (імовірно, у етрусків).

Особливості

Запис всіх цілих чисел (до 5000) проводиться за допомогою повторення описаних вище цифр. Ключовою особливістю є розташування знаків:

• додавання відбувається за тієї умови, що більша стоїть перед меншим (XI = 11) ;
• віднімання відбувається, якщо менша цифра стоїть перед більшою (IX = 9) ;
• один і той же знак не може стояти поспіль більше трьох разів (наприклад, 90 записується ХС замість LXXXX).

Недоліком її є незручність виконання арифметичних дій. При цьому вона проіснувала досить довго і перестала використовуватися в Європі в якості основної системи обчислення порівняно недавно - в 16-му столітті.

Римська система числення не рахується абсолютно непозиційній. Пов`язано це з тим, що в ряді випадків відбувається віднімання меншою цифри з більшою (наприклад, IX = 9).

Спосіб рахунки в Давньому Єгипті

Третє тисячоліття до нашої ери вважається моментом виникнення системи обчислення в Давньому Єгипті. Суть її полягала в записи спеціальними знаками цифр 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Всі інші числа записувалися у вигляді комбінації даних вихідних знаків. При цьому існувало обмеження - кожна цифра повинна була повторюватися не більше дев`яти разів. В основі цього способу рахунку, який сучасні вчені називають "непозиційних десяткова система числення", лежить простий принцип. Сенс його полягає в тому, що написане число дорівнювало сумі всіх цифр, з яких воно складалося.

Унарний спосіб рахунки

Система числення, в якій при запису чисел використаний один знак - I - називається унарною. Кожне наступне число виходить в результаті додавання нової I до попереднього. При цьому кількість таких I дорівнює значенню записаного за допомогою них числа.

Вісімкова система обчислення

Це позиційний спосіб рахунки, в основі якого лежить число 8. Для відображення чисел використовується цифровий ряд від 0 до 7. Широке застосування дана система отримала у виробництві та використанні цифрових пристроїв. Основною її перевагою є легкий переклад чисел. Їх можна перетворити в двійкову систему і назад. Дані маніпуляції здійснюються завдяки заміні чисел. З восьмиричной системи вони переводяться в двійкові триплети (наприклад, 28 = 0102, 68 = 1102). Даний спосіб рахунки був поширений в області комп`ютерного виробництва та програмування.

Шістнадцяткова система обчислення

Останнім часом в комп`ютерній сфері даний спосіб рахунку використовується досить активно. У корені даної системи лежить підстава - 16. Система числення, що базується на ньому, припускає використання цифр від 0 до 9 і ряду букв латинського алфавіту (від А до F), які застосовуються для позначення інтервалу від 1010 до 1510. Даний спосіб рахунки, як вже було зазначено, використовується при виробництві програмного забезпечення та документації, пов`язаної з комп`ютерами та їх складовими. Засноване це на властивостях сучасного комп`ютера, основною одиницею якого є 8-бітна пам`ять. Її зручно перетворювати і записувати за допомогою двох шістнадцяткових цифр. Основоположником такого процесу стала система IBM / 360. Документація для неї була вперше перекладена цим способом. Стандарт Юникода передбачає запис будь-якого символу в шестнадцатиричном вигляді з використанням не менше 4 цифр.

Способи запису

Математичне оформлення способу рахунки грунтується на зазначенні його в нижньому індексі в десятковій системі. Приклад, число 1444 записується у вигляді 144410. Мови програмування для запису шістнадцяткових систем мають різні синтаксиси:

• в Сі і Java мовах використовують префікс "0x" ;
• в Ада і VHDL застосовується наступний стандарт - "1516 # 5A3 #" ;
• асемблери припускають використання літери "h", яка ставиться після числа ("6А2h") або префікса "$", що характерно для ATT, Motorola, мови Паскаль ("$ 6В2") ;
• також зустрічаються записи типу "# 6A2", поєднання "h", яке ставиться перед числом ("h5A3") та інші.

Висновок

Як вивчаються системи обчислення? Інформатика - основна дисципліна, в рамках якої здійснюється накопичення даних, процес їх оформлення в зручний для споживання вигляд. Із застосуванням особливих інструментів відбувається оформлення і переклад всієї доступної інформації в мову програмування. Він надалі використовується при створенні програмного забезпечення і комп`ютерної документації. Вивчаючи різні системи числення, інформатика передбачає використання, як уже сказано було вище, різних інструментів. Багато з них сприяють здійсненню швидкого перекладу чисел. Одним з таких "інструментів" є таблиця систем числення. Користуватися нею досить зручно. За допомогою даних таблиць можна, наприклад, швидко перевести число з шестнадцатиричной системи в двійкову, не володіючи при цьому спеціальними науковими знаннями. Сьогодні можливість здійснювати цифрові перетворення є практично у кожного зацікавленого в цьому людини, оскільки необхідні інструменти пропонуються користувачам на відкритих ресурсах. Крім того, існують і програми онлайн-перекладу. Це істотно спрощує завдання з перетворення чисел і скорочує час операцій.