Вектор. Додавання векторів

Вивчення математики призводить до постійного збагачення та збільшення різноманіття засобів моделювання об`єктів і явищ навколишнього середовища. Так, розширення поняття числа дозволяє представити кількісну характеристику об`єктів навколишнього середовища, за допомогою нових класів геометричних фігур виходить описувати різноманітність їх форм. Але розвиток природничих наук і запити самої математики вимагають введення та вивчення нових і нових засобів моделювання. Зокрема, велика кількість фізичних величин неможливо охарактеризувати тільки числами, тому що важливо і напрямок їх дії. А завдяки тому, що спрямовані відрізки характеризують і напрямки, числові значення, то на цій основі і вийшло нове поняття математики - поняття вектора.

Виконання основних математичних дій над ними теж визначилося по фізичних міркувань, і це врешті-решт призвело до основи векторної алгебри, яка зараз виконує величезну роль при формуванні фізичних теорій. Одночасно з цим, в математиці, такий вид алгебри та її узагальнення стали дуже зручним мовою, а також засобом отримання і визначення нових результатів.

Що ж таке вектор?

Вектором називають сукупність усіх спрямованих відрізків, що мають однакову довжину і заданий напрямок. Кожен з відрізків цієї сукупності називають зображенням вектора.

Зрозуміло, що вектор позначається своїм зображенням. Всі спрямовані відрізки, які зображують вектор а, мають однакову довжину і напрямок, які називаються, відповідно, довжиною (модулем, абсолютним значенням) і напрямом вектора. Його довжина позначається IaI. Два вектора називають рівними, якщо у них однаковий напрямок і однакова довжина.

Спрямований відрізок, початком якого є точка А, а кінцем - точка В, однозначно характеризується упорядкованим парою точок (А- В). Розглянемо також безліч пар (А- А), (В- В) .... Це безліч позначає вектор, який називається нульовим і позначається 0. Зображенням нульового вектора є будь-яка точка. Модуль нульового вектора вважається рівним нулю. Поняття напрямки нульового вектора не визначене.

Для будь-якого ненульового вектора визначають вектор, протилежний заданому, тобто такий, який має таку ж довжину, але протилежний напрямок. Вектори, які мають однакове або протилежні напрямки, називаються колінеарними.

Можливості застосування векторів пов`язані з введенням дій над векторами і створенням векторної алгебри, яка має багато спільних властивостей з звичайної «числовий» алгеброю (хоча, звичайно, є і суттєві відмінності).

Складання двох векторів (неколінеарних) виконується за правилом трикутника (помістимо початок вектора b в кінець вектора a, тоді вектор a + b з`єднує початок вектора a з кінцем вектора b) Або паралелограма (помістимо початку векторів a і b в одну точку, тоді вектор a + b, маючи початок в тій же точці, є діагоналлю паралелограма, який побудований на векторах a і b). Додавання векторів (декількох) можна виконати, скориставшись правилом багатокутника. Якщо доданки колінеарні, то відповідні геометричні конструкції скорочуються.

Операції з векторами, які задані координатами, зводяться до операцій з числами: додавання векторів - додавання відповідних координат, наприклад, якщо а = (х1- у1), а b = (Х2 у2), то a + b = (x1 + x2 - y1 + y2).

Правило додавання векторів має всі алгебраїчними властивостями, які притаманні додаванню чисел:

1. Від перестановки доданків сума не змінюється:
   a + b = b + a
   Додавання векторів за допомогою цієї властивості випливає з правила паралелограма. Дійсно, яка різниця, в якому порядку підсумувати вектори a і b, якщо діагональ паралелограма все одно одна і та ж?
2. Властивість асоціативності:
   (A + b) + c = a + (b + c).
3. Додаток до вектору нульового вектора нічого не змінює:
   a +0 = a
   Це абсолютно очевидно, якщо уявити собі таке додавання з точки зору правила трикутника.
4. У кожного вектора a є протилежний вектор, що позначається - a- складання векторів, позитивних і негативних, дорівнюватиме нулю: a + (- a) = 0.