Метод Крамера і його застосування

Метод Крамера - це один з точних методів розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Точність його обумовлена використанням визначників матриці системи, а також деякими обмеженнями, що накладаються в ході доведення теореми.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами, які належать, наприклад, безлічі R - дійсних чисел, від невідомих x1, x2, ..., xn називають набір виразів виду

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi при i = 1, 2, ..., m, (1)

де aij, bi - дійсні числа. Кожне з цих виразів називається лінійним рівнянням, aij - коефіцієнтами при невідомих, bi - вільними коефіцієнтами рівнянь.

Рішенням системи (1) називають n-мірний вектор x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), при підстановці якого в систему замість невідомих x1, x2, ..., xn кожний з рядків в системі стає вірним рівністю .

Система називається спільної, якщо у неї є хоча б одне рішення, і несумісною, якщо її безліч рішень збігається з порожнім безліччю.

Необхідно пам`ятати, що для того, щоб знайти рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, використовуючи метод Крамера, матриці систем повинні бути квадратними, що по суті означає однакову кількість невідомих і рівнянь в системі.

Отже, щоб використовувати метод Крамера, необхідно як мінімум знати, що таке матриця систем лінійних алгебраїчних рівнянь і як вона виписується. А по-друге, розуміти, що називають визначником матриці і володіти навичками його обчислення.

Припустимо, що цими знаннями ви володієте. Чудово! Тоді вам залишається всього лише запам`ятати формули, що визначають метод Крамера. Для спрощення запам`ятовування скористаємося наступними позначеннями:

• Det - головний визначник матриці системи-

• 
  
  
  

  deti - це визначник матриці, отриманої з основної матриці системи, якщо замінити i-й стовпець матриці на вектор-стовпець, елементами якого є праві частини систем лінійних алгебраїчних уравненій-

• n - кількість невідомих і рівнянь в системі.

Тоді правило Крамера обчислення i-й компоненти xi (i = 1, .. n) n-мірного вектора x можна записати у вигляді

xi = deti / Det, (2).

При цьому Det суворо відмінний від нуля.

Єдність розв`язку системи при її спільності забезпечує умова нерівності нулю головного визначника системи. В іншому випадку, якщо сума (xi), зведених в квадрат, суворо позитивна, то СЛАР з квадратною матрицею буде несумісною. Це може статися, зокрема, коли, принаймні, один з deti відмінний від нуля.

Приклад 1. Вирішити тривимірну систему ЛАУ, використовуючи формули Крамера.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Рішення. Випишемо матрицю системи построчно, де Ai - це i -я рядок матриці.
A1 = (1 2 квітня), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
Стовпець вільних коефіцієнтів b = (31 29 10).

Головний визначник Det системи дорівнює
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Для обчислення det1 використовуємо підстановку a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Тоді
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Аналогічно, для обчислення det2 використовуємо підстановку a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 і, відповідно, для обчислення det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тоді можете перевірити, що det2 = -108, а det3 = - 135.
Згідно формулами Крамера знаходимо x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Відповідь: x ° = (3,4,5).

Спираючись на умови застосовності даного правила, метод Крамера рішення систем лінійних рівнянь можна використовувати опосередковано, наприклад, з метою дослідити систему на можливе число рішень залежно від величини деякого параметра k.

Приклад 2. Визначити, при яких значеннях параметра k нерівність | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<=0 имеет ровно одно решение.

Рішення.
Дане нерівність в силу визначення модуля функції може бути виконано, тільки якщо обидва вирази одночасно дорівнюють нулю. Тому ця задача зводиться до знаходження рішення лінійної системи рівнянь алгебри

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Рішення даної системи єдине, якщо її головний визначник
Det = k ^ {2} + 1 відмінний від нуля. Очевидно, що ця умова виконується для всіх дійсних значень параметра k.

Відповідь: для всіх дійсних значень параметра k.

До завдань даного виду також можуть бути зведені багато практичні завдання з області математики, фізики чи хімії.