Евклід простір: поняття, властивості, ознаки
Ще в школі всі учні знайомляться з поняттям «евклідова геометрія», основні положення якої сфокусовані навколо декількох аксіом, що спираються на такі геометричні елементи, як точка, площина, пряма, руху. Всі вони в сукупності формують те, що вже давно відомо під терміном «евклидово простір».
Евклід простір, визначення якого базується на положенні про скалярном множенні векторів, є окремим випадком лінійного (афінного) простору, який задовольняє цілому ряду вимог. По-перше, скалярний добуток векторів абсолютно симетрично, тобто вектор з координатами (xy) у кількісному плані тотожний вектору з координатами (yx), проте протилежний за напрямком.
По-друге, в тому випадку, якщо проводиться скалярний добуток вектора з самим собою, то результат цієї дії буде носити позитивний характер. Єдиним винятком стане випадок, коли початкова та кінцева координата цього вектора дорівнює нулю: в цьому випадку і твір його з самим собою той же дорівнюватиме нулю.
По-третє, має місце дистрибутивность скалярного твору, тобто можливість розкладання однією з його координат на суму двох значень, що не спричинить за собою ніяких змін в підсумковому результаті скалярного множення векторів. Нарешті, по-четверте, при множенні векторів на одне і те ж дійсне число їх скалярний добуток також збільшиться в стільки ж разів.
У тому випадку, якщо виконуються всі ці чотири умови, ми можемо з упевненістю сказати, що перед нами евклидово простір.
Евклід простір з практичної точки зору можна охарактеризувати наступними конкретними прикладами:
- Найпростіший випадок - це наявність безлічі векторів з певним за основними законами геометрії скалярним твором.
- Евклід простір вийде і в тому випадку, якщо під векторами ми будемо розуміти якесь кінцеве безліч дійсних чисел із заданою формулою, яка описує їх скалярную суму або твір.
- Окремим випадком евклидова простору слід визнати так зване нульове простір, який виходить в тому випадку, якщо скалярная довжина обох векторів дорівнює нулю.
Евклід простір володіє цілим рядом специфічних властивостей. По-перше, скалярний множник можна виносити за дужки як від першого, так і від другого сомножителя скалярного твори, результат від цього не зазнає жодних змін. По-друге, поряд з дистрибутивного першого елемента скалярного твори, діє і дистрибутивность другого елементу. Крім того, крім скалярною суми векторів, дистрибутивность має місце і у випадку віднімання векторів. Нарешті, по-третє, при скалярному множенні вектора на нуль, результат також буде дорівнює нулю.
Таким чином, евклидово простір - це найважливіше геометричне поняття, що використовується при вирішенні завдань з взаємним розташуванням векторів один щодо одного, для характеристики якого використовується таке поняття, як скалярний твір.
Властивості матриці і її визначника Властивості матриць - питання, яке у багатьох може викликати складності. Тому варто розглянути його докладніше.Матриця - це таблиця прямокутного виду, що включає в себе числа і елементи. Також це якась сукупність чисел та елементів якої-небудь іншої…
Що таке поляризація світла? Якщо осіннім безхмарним днем подивитися в небо, то сяючий яскраво-блакитний купол небосхилу нікого не залишить байдужим. Чим же пояснюється такий дивний колір? Його причина полягає в трьох аспектах - ламанні, розсіюванні і поляризації. У…
Чотиривимірний простір Сьогодні кожному школяреві відомо, що простір, в якому існує людина, трехмерно, тобто у нього є три виміри: довжина, ширина і висота. Але що таке чотиривимірний простір? Якщо ми будемо досліджувати не тільки просторове положення тіла, але і те, як…
Матеріальна точка Грунтуючись на можливості локалізації фізичних предметів у часі та просторі, в класичній механіці дослідження законів переміщення починається з найпростішого випадку. Цим випадком є рух матеріальної точки. Схематичною ідеєю елементарної частинки…
Що таке сила Лоренца Що таке сила Лоренца? Уявимо собі якусь середу, яку пронизують лінії напруженості електромагнітного поля. Якщо помістити в цій області будь електричний заряд (Це може бути як елементарна частинка, так і заряджене тіло), то на нього буде чинитися…
Рівномірний рух і його особливості Серед розмаїття рухів, що вивчаються таким розділом фізики, як кінематика, зустрічається таке, при якому тіло за будь-які довільно взяті рівні відрізки часу проходить однакові по довжині відрізки шляху. Це - рівномірний рух. Прикладом може служити…
Куди веде траєкторія руху? Рух будь-якого тіла можна описати, якщо існує спосіб визначити його положення в просторі в кожний момент. Для цього потрібно мати тіло відліку, (знати, щодо якого предмету ми будемо розглядати його рух), а також встановити для себе спосіб, яким ми…
Компактне безліч Компактне безліч являє собою певне топологічний простір, в покритті якого знаходиться кінцеве підпокриття. Компактні простору в топології за своїми властивостями можуть нагадувати систему кінцевих множин у відповідній теорії.Компактне безліч або…
Як знайти площу прямокутного трикутника незвичайним способом На уроках геометрії в середній школі всім нам говорили про те, як знайти площу прямокутного трикутника. Проте в рамках шкільної програми ми отримуємо тільки найнеобхідніші знання і вчимося найбільш поширеним і стандартним способам обчислень. Чи…
Тривимірний простір матеріального світу Тривимірний простір є геометричною моделлю світу, в якому ми живемо. Тривимірним воно називається тому, що його опис відповідає трьом одиничним векторам, які мають напрямок в довжину, ширину і висоту. Сприйняття тривимірного простору розвивається ще…
Як справити знаходження визначника матриці? Знаходження визначника матриці є важливим дією не тільки для лінійної алгебри: так, наприклад, в економіці за допомогою цього обчислення вирішуються системи лінійних рівнянь з багатьма невідомими, широко застосовуються в економічних задачах.Поняття…
Як зрозуміти, чому «плюс» на «мінус» дає «мінус»? Слухаючи вчителя математики, більшість учнів сприймають матеріал як аксіому. При цьому мало хто намагається дістатися до суті і розібратися, чому «мінус» на «плюс» дає знак «мінус», а при множенні двох негативних чисел виходить позитивне.Закони…
Дріб. Множення дробів звичайних, десяткових, змішаних В курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається в процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якого-небудь вирази, наприклад,…