Рівняння площини: як скласти? Види рівнянь площини

У просторі площину можна задавати різними способами (однією точкою і вектором, двома точками і вектором, трьома крапками і ін.). Саме з урахуванням цього рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площині можуть бути паралельними, перпендикулярними, пересічними і т.д. Про це і поговоримо в даній статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не тільки.

Нормальний вигляд рівняння

Припустимо, є простір R₃, яке має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор alpha-, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора alpha- проведемо площину П, яка буде йому перпендикулярна.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо буквою р. При цьому довжина вектора alpha- дорівнює р = Ialpha-I і? = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

Це одиничний вектор, який направлений в сторону, як і вектор alpha-. alpha-, beta- і gamma- - це кути, які утворюються між вектором? і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? П на вектор? є постійною величиною, яка дорівнює р: (р ,?) = р (рge-0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П в цьому випадку буде перетинати точку О (alpha- = 0), яка є початком координат, і одиничний вектор?, Випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрямок, що означає, що вектор? визначається з точністю до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої площині П, вираженим у векторній формі. А ось в координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини в просторі в нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, одержимо рівняння, еквівалентне даним, що визначає ту саму площину. Воно буде мати такий вигляд:

Тут А, В, С - це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння іменується як рівняння площини загального вигляду.

Рівняння площин. Окремі випадки

Рівняння в загальному вигляді може видозмінюватися при наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна заданої осі Ох. У цьому випадку вид рівняння зміниться: Ву + Cz + D = 0.

Аналогічно вид рівняння буде змінюватися і за таких умов:

• По-перше, якщо В = 0, то рівняння зміниться на Ах + Cz + D = 0, що свідчитиме про паралельність до осі Оу.
• По-друге, якщо С = 0, то рівняння перетвориться в Ах + Ву + D = 0, що говоритиме про паралельність до заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D = 0, рівняння буде виглядати як Ах + Ву + Cz = 0, що буде означати, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A = B = 0, то рівняння зміниться на Cz + D = 0, що буде доводити паралельність до Oxy.
• По-п`яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A = C = 0, то рівняння набуде вигляду Ву + D = 0, тобто буде повідомляти про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х / а + у / b + z / с = 1,

в якому а = -D / А, b = -D / В, с = -D / С.

Отримуємо в підсумку рівняння площини у відрізках. Варто відзначити, що дана площина буде перетинати вісь Ох у точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х / а + у / b + z / с = 1 неважко візуально уявити розміщення площині щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, які є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Для того щоб визначити координати нормалі n, достатньо знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, яке має вигляд х / а + у / b + z / с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якої нормальної вектора заданій площині: (1 / а + 1 / b + 1 / с).

Варто відзначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших належать завдання, які полягають у доведенні перпендикулярності або паралельності площин, завдання по знаходженню кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вид рівняння площини згідно координатам точки і нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний заданій площині, називають нормальним (нормаллю) для заданої площині.

Припустимо, що в координатному просторі (прямокутної координатної системі) Oxyz задані:

• точка М? з координатами (х?, у?, z?) ;
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка буде проходити через точку М? перпендикулярно нормалі n.

У просторі виберемо довільну точку і позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор якої точки М (х, у, z) буде r = х * i + у * j + z * k, а радіус-вектор точки М? (Х?, У?, Z?) - R? = Х? * I + у? * J + z? * K. Точка М буде належати заданій площині, якщо вектор М? М буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твори:

[М? М, n] = 0.

Оскільки М? М = rr ?, векторне рівняння площини виглядати буде так:

[R - r ?, n] = 0.

Дане рівняння може мати й іншу форму. Для цього використовуються властивості скалярного твори, а перетворюється ліва сторона рівняння. [R - r ?, n] = [r, n] - [r ?, n]. Якщо [r ?, n] позначити як с, то вийде наступне рівняння: [r, n] - с = 0 або [r, n] = с, яке виражає постійність проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать площині .

Тепер можна отримати координатний вид запису векторного рівняння нашої площині [r - r ?, n] = 0. Оскільки rr? = (Х-х?) * I + (у-у?) * J + (zz?) * K, а n = А * i + В * j + С * k, ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно нормалі n:

А * (х- х?) + В * (у- у?) С * (z-z?) = 0.

Вид рівняння площини згідно координатам двох точок і вектора, колінеарних площині

Задамо дві довільні точки М `(х`, у `, z`) і М `(х`, у `, z`), а також вектор а (а `, а`, а?).

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площині, яка буде проходити через наявні точки М `і М`, а також яку точку М з координатами (х, у, z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М`М = {х-х`-у-у`-z-z `} і М`М = {х`-х`-у`-у`-z`-z`} повинні бути компланарними з вектором а = (а `, а`, а?), а це означає, що (М`М, М`М, а) = 0.

Отже, наше рівняння площини в просторі буде виглядати так:

Вид рівняння площини, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х `, у`, z `), (х`, у `, z`), (х?, У?, Z?), Які не належать одній прямій. Необхідно написати рівняння площини, що проходить через задані три точки. Теорія геометрії стверджує, що такого роду площину дійсно існує, от тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х `, у`, z `), вид її рівняння буде таким:

Тут А, В, С відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х `, у`, z `) і (х?, У?, Z?). У зв`язку з цим повинні виконуватися такого роду умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну систему рівнянь (лінійну) з невідомими u, v, w:

У нашому випадку х, у або z виступає довільній точкою, яка задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) і систему з рівнянь (2) і (3), системі рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник даної системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке у нас вийшло, це і є рівняння площини. Через 3 точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться в першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площину одночасно перетинає три спочатку задані точки (х `, у`, z `), (х`, у `, z`), (х?, У?, Z?). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двухгранний кут між площинами

Двухгранний кут являє собою просторову геометричну фігуру, утворену двома півплощини, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується даними напівплощина.

Припустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N = (А, В, С) і Nsup1 - = (Аsup1-, Вsup1-, Сsup1-) перпендикулярні згідно заданих площинах. У зв`язку з цим кут phi- між векторами N і Nsup1- дорівнює розі (двухгранних), який знаходиться між цими площинами. Скалярний добуток має вигляд:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

саме тому

cosphi- = NNsup1-/|N||Nsup1-|=(ААsup1-+ВВsup1-+ССsup1-)/((radic-(Аsup2-+Вsup2-+Сsup2-))*(radic-(Аsup1-)sup2-+(Вsup1-)sup2-+(Сsup1-)sup2-)).

Досить врахувати, що 0le-phi-le-pi-.

Насправді дві площини, які перетинаються, утворюють два кути (двухгранних): phi-₁ і phi-₂. Сума їх дорівнює pi- (phi-₁+ phi-₂= pi-). Що стосується їх косинусів, то їх абсолютні величини рівні, але розрізняються вони знаками, тобто cos phi-₁= -cos phi-₂. Якщо в рівнянні (0) замінити А, В і С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, буде визначати цю ж площину, єдине, кут phi- в рівнянні cos phi- = NN¹/ | N || N¹| Буде замінений на pi - phi-.

Рівняння перпендикулярній площині

Перпендикулярними називаються площині, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної інший. Припустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і Аsup1-х + Вsup1-у + Сsup1-z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що перпендикулярними вони будуть, якщо cosphi- = 0. Це означає, що NNsup1- = ААsup1- + ВВsup1- + ССsup1- = 0.

Рівняння паралельній площині

Паралельними називаються дві площини, які не містять спільних точок.

Умова паралельності площин (Їх рівняння ті ж, що і в попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і Nsup1-, які до них перпендикулярні, колінеарні. А це означає, що виконуються наступні умови пропорційності:

А / Аsup1- = В / Вsup1- = С / Сsup1-.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А / Аsup1- = В / Вsup1- = С / Сsup1- = DDsup1-,

це свідчить про те, що дані площині збігаються. А це означає, що рівняння Ах + Ву + Cz + D = 0 і Аsup1-х + Вsup1-у + Сsup1-z + Dsup1- = 0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, у нас є площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти до неї відстань від точки з координатами (х?, У?, Z?) = Q ?. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П в нормальний вигляд:

(Rho-, v) = р (рge-0).

В даному випадку rho- (х, у, z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, який розташований в напрямку а.

Різниця rho - rho-ordm- радіус-вектора який-небудь точки Q = (х, у, z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q₀= (Х?, У?, Z?) Є таким вектором, абсолютна величина проекції якого на v дорівнює відстані d, яке потрібно знайти від Q₀= (Х?, У?, Z?) До П:

D = | (rho - rho-⁰,v) |, але

(Rho - rho-⁰,v) = (rho-, v) - (rho-⁰,v) = р- (rho-⁰,v).

Ось і виходить,

d = | (rho-⁰,v) -р |.

Тепер видно, щоб розрахувати відстань d від Q₀ до площини П, потрібно використовувати нормальний вигляд рівняння площині, при цьому перенести в ліву частину р, а в останню замість х, у, z підставити (х?, у?, z?).

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значення отриманого виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d = | Ах? + Ву? + Cz? | / radic- (Аsup2- + Вsup2- + Сsup2-).

Якщо задана точка Q₀ знаходиться по іншу сторону від площини П, як і початок координат, то між вектором rho - rho-⁰ і v знаходиться тупий кут, отже:

d = - (rho - rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) -р> 0.

У разі коли точка Q₀ спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то створюваний кут гострий, тобто:

d = (rho - rho-⁰,v) = р - (rho-⁰, v)> 0.

У підсумку виходить, що в першому випадку (rho-⁰,v)> р, у другому (rho-⁰,v)<р.

Дотична площину і її рівняння

Що стосується площину до поверхні в точці дотику Мordm- - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведеним через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F (х, у, z) = 0 рівняння дотичної площини в дотичній точці Мordm- (хordm-, уordm-, zordm-) буде виглядати так:

F_х(Хordm-, уordm-, zordm -) (х- хordm -) + F_х(Хordm-, уordm-, zordm -) (у- уordm -) + F_х(Хordm-, уordm-, zordm -) (z-zordm -) = 0.

Якщо задати поверхню в явній формі z = f (х, у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zordm- = f (хordm-, уordm -) (х- хordm -) + f (хordm-, уordm -) (у- уordm-).

Перетин двох площин

В тривимірному просторі розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П `і П`, які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній системі координат, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П `і П` задаються рівняннями А`х + В`у + С`z + D `= 0 і А`х + В`у + С`z + D `= 0. У такому випадку маємо нормаль n `(А`, В `, С`) площині П `і нормаль n` (А `, В`, С `) площині П`. Оскільки наші площині не паралельні і не збігаються, то ці вектори не є колінеарними. Використовуючи мову математики, ми дана умова можемо записати так: n`ne- n ` harr- (А `, В`, С `) ne- (lambda- * А `, lambda- * В`, lambda- * С `), lambda-? R. Нехай пряма, яка лежить на перетині П `і П`, буде позначатися літерою а, в цьому випадку а = П ` cap- П `.

а - це пряма, яка складається з безлічі всіх точок (загальних) площин П `і П`. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А`х + В`у + С`z + D `= 0 і А`х + В`у + С`z + D` = 0. Значить, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У підсумку виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь буде визначати координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П `і П`, і визначати пряму а в координатної системі Oxyz (прямокутної) в просторі.