Ірраціональні числа: що це таке і для чого вони використовуються?

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так називаються? Де вони використовуються і що собою являють? Мало хто може без роздумів відповісти на ці питання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність і позначення

Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Необхідність введення цієї концепції обумовлена тим, що для вирішення нових виникаючих завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, для того, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіші рівняння також не мають рішення без введення концепції ірраціонального числа.

Це безліч позначається як I. І, як вже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику - натуральне число.

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики в VII столітті до нашої ери, коли було виявлено, що квадратні корені з деяких величин не можуть бути позначені явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцям Гіппаса, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї безлічі привнесли ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони так важливі.

Походження назви

Якщо ratio в перекладі з латині - це "дріб", "ставлення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва безлічі цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої суті.

Місце в загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд з раціональними відноситься до групи речових або дійсних, які в свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну і трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

Властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі їх властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

a + b = b + a (комутативність) -

(A + b) + c = a + (b + c) (асоціативність) -

a + 0 = a-

a + (-a) = 0 (існування протилежної числа) -

ab = ba (переместительное закон) -

(Ab) c = a (bc) (дистрибутивність) -

a (b + c) = ab + ac (розподільний закон) -

a x 1 = a

ax 1 / a = 1 (існування зворотного числа) -

Порівняння також проводиться відповідно до загальними закономірностями і принципами:

Якщо a> b і b> c, то a> c (транзитивність співвідношення) і. т. д.

Зрозуміло, всі ірраціональні числа можуть бути перетворені за допомогою основних арифметичних дій. Ніяких особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона свідчить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a в якості доданка достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те що в звичайному житті не так вже й часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, рівне 3,1415926 ..., або e, по суті є підставою натурального логарифма, 2,718281828 ... В алгебрі, тригонометрії та геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перетину", тобто ставлення як здебільшого до меншої, так і навпаки, також ставиться до цього безлічі. Менш відоме "срібне" - теж.

На числової прямої вони розташовані дуже щільно, так що між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов`язково зустрічається ірраціональна.

До цих пір існує маса невирішених проблем, пов`язаних з цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності і нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади на предмет належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що ті - нормальне число, т. Е. Ймовірність появи в його записи різних цифр однакова. Що ж стосується пі, то щодо його поки ведуться дослідження. Мірою ірраціональності ж називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближене раціональними числами.

Алгебраїчні і трансцендентні

Як уже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні і трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу безлічі C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають в себе дійсні або речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем многочлена, що не рівного тотожне нулю. Наприклад, квадратний корінь з 2 буде ставитися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x² - 2 = 0.

Всі ж інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі і підстава натурального логарифма e.

Що цікаво, ні одне, ні друге не були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для пі доказ було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало край суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2500 років. Воно досі до кінця не вивчено, так що сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перше достатньо точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були занадто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера), доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів - значення синуса, косинуса і тангенса для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.