Що таке логарифм?

Середні століття відомі як часи подорожей і географічних відкриттів. Єдиним способом реалізації дальніх подорожей було мореплавство, що завжди пов`язане з виконанням великих об`ємів навігаційних обчислень. Зараз важко уявити процес виснажливих розрахунків при множенні-діленні п`яти-шестизначних чисел «вручну». Джон Непер, богослов по роду своєї основної діяльності, займаючись на дозвіллі тригонометричними розрахунками, здогадався замінити трудомістку процедуру множення простим додаванням. Він сам казав, що його метою було «звільнитися від труднощі й нудьги обчислень, які відлякують багатьох від вивчення математики». Зусилля увінчалися успіхом - був створений математичний апарат, названий системою логарифмів.

Отже, що таке логарифм? Основою логарифмічних обчислень є інше уявлення числа: замість звичайної позиційної системи, як ми звикли, число A представляється у вигляді статечного вираження, де якесь довільне число N, зване підставою ступеня, зводиться в такий ступінь n, що в результаті виходить число A. Таким чином , n - це логарифм числа А по підставі N. Вибір підстави логарифмів визначає назву системи. Для простих вичислення застосовується десяткова система логарифмів, а в науці і техніці широко використовується система натуральних логарифмів, де підставою служить ірраціональне число е = 2,718. Вираз, що визначає логарифм числа А, мовою математики записується так:

n = log (N) A, де N - підстава ступеня.

Десятковий і натуральний логарифми мають своє специфічне скорочене написання - lgA і lnA, відповідно.

В системі розрахунків, що використовує обчислення логарифмів, основним елементом є перетворення числа до статечному увазі за допомогою таблиці логарифмів по деякому основи, наприклад 10. Ця маніпуляція не представляє ніяких складнощів. Далі використовується властивість статечних чисел, яке у тому, що при множенні їх ступеня складаються. Практично це означає, що множення чисел з логарифмічним представленням, замінюється складанням їх ступенів. Тому, питання «що таке логарифм», якщо його продовжити до «а навіщо він нам потрібен», має просту відповідь - щоб спростити процедуру множення-ділення багаторозрядних чисел - адже додавання «в стовпчик» значно простіше множення «в стовпчик». Хто не вірить - нехай спробує скласти і помножити два восьмирозрядних числа.

Перші таблиці логарифмів (по підставі з натуральним числом) опублікував в 1614 році Джон Непер, а повністю позбавлений помилок варіант, що включає і таблиці десяткових логарифмів, з`явився в 1857 році і відомий як таблиці Бремікера. Використання логарифмів з основою у вигляді ірраціонального числа обумовлено тим, що число е досить просто отримати через ряд Тейлора, який має широке застосування в інтегральному і диференціальному численні.

Суть даної обчислювальної системи міститься у відповіді на питання «що таке логарифм» і випливає з основного логарифмічного тотожності: N (підстава логарифма) зведене в ступінь n, рівну логарифму числа А (logA), так само цього числа A. При цьому А> 0, тобто логарифм визначається тільки для позитивних чисел, а підстава логарифма завжди більше 0 і не дорівнює 1. Виходячи зі сказаного, властивості натурального логарифма можна сформулювати наступним чином:

1. Область визначення натурального логарифма - вся числова вісь від 0 до безкінечності.
2. ln x = 0 - наслідок відомого співвідношення - будь-яке число в нульової ступеня дорівнює 1.
3. ln (X * Y) = ln X + lnY - найбільш важливе для обчислювальних маніпуляцій властивість - логарифм добутку двох чисел рамен сумі логарифмів кожного з них.
4. ln (X / Y) = ln X - lnY - логарифм приватного двох чисел дорівнює різниці логарифмів цих чисел.
5. ln (X) n = n * ln X.
6. Натуральний логарифм являє собою дифференцируемую, опуклу вгору функцію, причому ln `X = 1 / X
7. log (N) A = K * ln A - логарифм з будь-якого позитивного і відмінному від числа е основи відрізняється від натурального тільки коефіцієнтом.

Зараз кожен школяр знає, що таке логарифм, але завдяки прогресу в галузі прикладної обчислювальної техніки проблеми обчислювальних робіт пішли в минуле. Тим не менш, логарифми, уже як математичний інструмент, використовуються при вирішенні рівнянь з невідомими в показнику ступеня, у виразах для знаходження часу розпаду радіоактивних елементів і в інших областях математики, фізики, статистики.