Дійсні числа та їх властивості

Піфагор стверджував, що число лежить в основі світу нарівні з основними стихіями. Платон вважав, що число пов`язує феномен і ноумен, допомагаючи пізнавати, порівнювати і робити висновки. Арифметика походить від слова "аріфмос" - число, початок почав в математиці. Ним можна описати будь-який об`єкт - від елементарного яблука до абстрактних просторів.

Потреби як фактор розвитку

На початкових етапах становлення суспільства потреби людей обмежувалися необхідністю вести рахунок - один мішок зерна, два мішки зерна і т. д. Для цього достатньо було натуральних чисел, безліч яких представляє собою нескінченну позитивну послідовність цілих чисел N.

Пізніше, з розвитком математики як науки, виникла необхідність в окремому полі цілих чисел Z - воно включає в себе негативні величини і нуль. Його поява на побутовому рівні було спровоковано тим, що в первинній бухгалтерії необхідно було якось зафіксувати борги і збитки. На науковому рівні негативні числа зробили можливим вирішення найпростіших лінійних рівнянь. Крім іншого, тепер стало можливим зображення тривіальної системи координат, т. К. З`явилася точка відліку.

Наступним кроком стала необхідність введення дробових чисел, так як наука не стояла на місці, все нові й нові відкриття вимагали теоретичної бази для нового поштовху зростання. Так з`явилося поле раціональних чисел Q.

Нарешті, раціональність перестала задовольняти запити, адже всі нові висновки вимагали обґрунтування. З`явилися поле дійсних чисел R, праці Евкліда про неспівмірності деяких величин в силу їх ірраціональності. Тобто давньогрецькі математики позиціонували число не тільки як константу, але і як абстрактну величину, яка характеризується відношенням несумірних величин. Завдяки тому що з`явилися справжні числа, "побачили світ" такі величини, як "пі" та "е", без яких сучасна математика не змогла б відбутися.

Фінальним нововведенням стало комплексне число C. Воно відповіло на ряд запитань і спростувало раніше введені постулати. Через стрімкого розвитку алгебри результат був передбачуваний - маючи дійсні числа, вирішення багатьох завдань було неможливо. Наприклад, завдяки комплексним числам виділилися теорії струн і хаосу, розширилися рівняння гідродинаміки.

Теорія множин. Кантор

Поняття нескінченності в усі часи викликало суперечки, тому що його не можна було ні довести, ні спростувати. У контексті математики, яка оперувала суворо вивіреними постулатами, це проявлялося найбільш явно, тим більше що теологічний аспект все ще мав вагу в науці.

Однак завдяки роботам математика Георга Кантора все з часом встало на свої місця. Він довів, що нескінченних множин існує безліч, і те, що поле R більше поля N, нехай вони обидва і не мають кінця. У середині XIX століття його ідеї гучно називали маренням і злочином проти класичних, непорушних канонів, однак час усе розставив на свої місця.

Основні властивості поля R

Дійсні числа володіють не тільки тими ж властивостями, що і подможества, які в них включені, а й доповнені іншими в силу масшабності своїх елементів:

• Нуль існує і належить полю R. c + 0 = c для будь-якого c з R.
• Нуль існує і належить полю R. c х 0 = 0 для будь-якого c з R.
• Ставлення c: d при d ne- 0 існує і є дійсним для будь-яких c, d з R.
• Поле R впорядковано, тобто якщо c le- d, d le- c, то c = d для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є комутативним, тобто c + d = d + c для будь-яких c, d з R.
• Множення в поле R є комутативним, тобто c х d = d х c для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є асоціативним, тобто (c + d) + f = c + (d + f) для будь-яких c, d, f з R.
• Множення в поле R асоціативно, тобто (c х d) х f = c х (d х f) для будь-яких c, d, f з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому протилежне, таке що c + (-c) = 0, де c, -c з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому протилежне, таке що c х c^-1 = 1, де c, c^-1 з R.
• Одиниця існує і належить R, так що c х 1 = c, для будь-якого c з R.
• Має силу розподільний закон, так що c х (d + f) = c х d + c х f, для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R нуль НЕ дорівнює одиниці.
• Поле R є транзитивним: якщо c le- d, d le- f, то c le- f для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R порядок і додавання взаємопов`язані: якщо c le- d, то c + f le- d + f для будь-яких c, d, f з R.
• У полі R порядок і множення взаємопов`язані: якщо 0 le- c, 0 le- d, то 0 le- c х d для будь-яких c, d з R.
• Як негативні, так і позитивні дійсні числа неперервні, тобто для будь-яких c, d з R знайдеться таке f з R, що c le- f le- d.

Модуль в поле R

Дійсні числа включають в себе таке поняття, як модуль. Позначається він як | f | для будь-якого f з R. | f | = f, якщо 0 le- f і | f | = -f, якщо 0> f. Якщо розглядати модуль як геометричну величину, то він являє собою пройдену відстань - неважливо, "пройшли" ви за нуль в мінус або вперед до плюса.

Комплексні і дійсні числа. Що спільного і в чому відмінності?

За великим рахунком, комплексні та дійсні числа - це одне і те ж, хіба що до першого приєдналася уявна одиниця i, квадрат якої дорівнює -1. Елементи полів R і С можна представити у вигляді такої формули:

• c = d + f х i, де d, f належать полю R, а i - уявна одиниця.

Щоб отримати c з R в даному випадку f просто вважають рівним нулю, тобто залишається тільки дійсна частина числа. У силу того що поле комплексних чисел володіє тим же набором властивостей, що і поле дійсних, f х i = 0, якщо f = 0.

Касаемо практичних відмінностей, то, наприклад, в поле R квадратне рівняння не вирішується, якщо дискримінант від`ємний, тоді як поле C не накладає подібне обмеження завдяки введенню уявної одиниці i.

Підсумки

«Цеглина» аксіом і постулатів, на яких базується математика, що не змінюються. На частину з них у зв`язку зі збільшенням інформації та введенням нових теорій кладуться наступні "цеглини", які в перспективі можуть стати основою для чергового кроку. Наприклад, натуральні числа, незважаючи на те що є підмножиною дійсного поля R, не втрачають своєї актуальності. Саме на них грунтується вся елементарна арифметика, з якої починається пізнання людиною світу.

З практичної точки зору дійсні числа виглядають як пряма. На ній можна вибрати напрямок, позначити початок відліку і крок. Пряма складається з нескінченного числа точок, кожній з яких відповідає єдине дійсне число, незалежно від того, раціональне воно чи ні. З опису ясно, що мова йде про поняття, на якому будується як математика в цілому, так і математичний аналіз зокрема.