Що таке раціональні числа? Які бувають ще?

Що таке раціональні числа? Старші школярі і студенти математичних спеціальностей, ймовірно, з легкістю дадуть відповідь на це питання. А от тим, хто за професією далекий від цього, буде складніше. Що ж це насправді таке?

Сутність і позначення

Під раціональними числами увазі такі, які можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу. Позитивні, негативні, а також нуль теж входять в це безліч. Чисельник дробу при цьому повинен бути цілим, а знаменник - являти собою натуральне число.

Це безліч в математиці позначається як Q і називається "полем раціональних чисел". Туди входять всі цілі і натуральні, що позначаються відповідно як Z і N. Саме ж безліч Q входить в безліч R. Саме цією буквою позначають так звані речові або дійсні числа.

Подання

Як вже було сказано, раціональні числа - це безліч, в яке входять всі цілі і дробові значення. Вони можуть бути представлені в різних формах. По-перше, у вигляді звичайного дробу: 5/7, 1/5, 11/15 і т. Д. Зрозуміло, цілі числа також можуть бути записані в подібному вигляді: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 і т. д. По-друге, ще один вид вистави - десяткова дріб з кінцевою дробовою частиною: 0,01, -15,001006 і т. д. Це, мабуть, одна з найбільш часто зустрічаються форм.

Але є ще й третя - періодична дріб. Такий вид зустрічається не дуже часто, але все ж використовується. Наприклад, дріб 10/3 може бути записана як 3,33333 ... або 3, (3). При цьому різні уявлення будуть вважатися аналогічними числами. Так само будуть називатися і рівні між собою дробу, наприклад 3/5 і 6/10. Схоже, що стало ясно, що таке раціональні числа. Але чому для їх позначення використовують саме цей термін?

Походження назви

Слово "раціональний" в сучасній російській мові в загальному випадку несе трохи інше значення. Це скоріше "розумний", "обдуманий". Але математичні терміни близькі до прямим змістом цього запозиченого слова. В латині "ratio" - це "відношення", "дріб" або "поділ". Таким чином, назва відображає сутність того, що таке раціональні числа. Втім, і друге значення недалеко пішло від істини.

Дії з ними

При вирішенні математичних завдань ми постійно стикаємося з раціональними числами, самі не знаючи цього. І вони мають ряд цікавих властивостей. Всі вони слідують небудь з визначення множини, або з дій.

По-перше, раціональні числа мають властивість відношення порядку. Це означає, що між двома числами може існувати тільки одне співвідношення - вони або дорівнюють один одному, або одне більше або менше іншого. Т. е .:

або a = b - або a> b, або a < b.

Крім того, з цієї властивості також випливає транзитивність співвідношення. Тобто якщо a більше b, b більше c, то a більше c. На мові математики це виглядає наступним чином:

(A> b) ^ (b> c) => (a> c).

По-друге, існують арифметичні дії з раціональними числами, тобто додавання, віднімання, ділення і, зрозуміло, множення. При цьому в процесі перетворень можна також виділити ряд властивостей.

• a + b = b + a (зміна місць доданків, коммутативность) -
• 0 + a = a + 0 -
• (A + b) + c = a + (b + c) (асоціативність) -
• a + (-a) = 0-
• ab = ba-
• (Ab) c = a (bc) (дистрибутивність) -
• a x 1 = 1 x a = a-
• ax (1 / a) = 1 (при цьому a не дорівнює 0) -
• (A + b) c = ac + ab-
• (A> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Коли ж мова йде про звичайних, а не десяткових, дробах або цілих числах, дії з ними можуть викликати певні труднощі. Так, додавання і віднімання можливі тільки при рівності знаменників. Якщо вони спочатку різні, слід знайти спільну, використовуючи множення всієї дробу на ті чи інші числа. Порівняння також найчастіше можливо тільки при дотриманні цієї умови.

Розподіл і перемножування звичайних дробів провадяться відповідно до досить простими правилами. Приведення до спільного знаменника не потрібно. Окремо перемножуються чисельники і знаменники, при цьому в процесі виконання дії по можливості дріб потрібно максимально скоротити і спростити.

Що стосується поділу, то ця дія аналогічно першому з невеликою різницею. Для другого дробу слід знайти зворотну, тобто "Перевернути" її. Таким чином, чисельник першого дробу потрібно буде перемножити зі знаменником другий і навпаки.

Нарешті, ще одна властивість, властиве раціональним числам, називають аксіомою Архімеда. Часто в літературі також зустрічається назва "принцип". Він дійсний для всієї множини дійсних чисел, проте не скрізь. Так, цей принцип не діє для деяких сукупностей раціональних функцій. По суті ж, ця аксіома означає, що при існуванні двох величин a і b завжди можна взяти достатню кількість a, щоб перевершити b.

Область застосування

Отже, тим, хто дізнався або згадав, що таке раціональні числа, стає ясно, що вони використовуються повсюдно: в бухгалтерії, економіки, статистики, фізики, хімії та інших науках. Природно, також місце їм є в математиці. Не завжди знаючи, що маємо справу з ними, ми постійно використовуємо раціональні числа. Ще маленькі діти, навчаючись рахувати предмети, розрізаючи на частини яблуко або виконуючи інші прості дії, стикаються з ними. Вони буквально нас оточують. І все ж для вирішення деяких завдань їх недостатньо, зокрема, на прикладі теореми Піфагора можна зрозуміти необхідність введення поняття ірраціональних чисел.