Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Поряд з проізводниміфункцій іхдіфференціали – це одні з базових понять диференціального обчислення, основного розділу математичного аналізу. Будучи нерозривно пов`язаними між собою, обидва вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціалі

Вперше роз`яснив, що таке диференціал, один з творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального обчислення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося вельми нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малою «неподільної» частини будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був всього один крок до запровадження подання про нескінченно малих збільшеннях аргументів функцій і відповідних їм збільшеннях самих функцій, які висловлюються через похідні останніх. І цей крок був зроблений практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Виходячи з необхідності вирішення нагальних практичних завдань механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили загальні способи знаходження швидкості зміни функцій (перш за все стосовно механічної швидкості руху тіла по відомій траєкторії), що призвело до введення таких понять, як похідна і диференціал функції, а також знайшли алгоритм розв`язання оберненої задачі, як за відомою (змінної) швидкості знайти пройдений шлях, що призвело до появи поняття інтеграла.

У працях Лейбніца і Ньютона вперше з`явилося уявлення про те, що диференціали – це пропорційні приращениям аргументів Delta-х основні частини збільшень функцій Delta-у, які можуть бути з успіхом застосовані для обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що приріст функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Delta-у = y `(x) Delta-х + alpha-Delta-х, де alpha- Delta-х – залишковий член, що прагне до нуля при Delta-х-0, набагато швидше, ніж саме Delta-х.

Згідно основоположників матаналізу, диференціали – це якраз і є перші члени у виразах збільшень будь-яких функцій. Ще не володіючи чітко сформульованим поняттям межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне до похідної функції при Delta-х-0 – Delta-у / Delta-х- y `(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструмент дослідження фізичних завдань, Лейбніц приділяв більшу увагу самого цьому інструментарію, включаючи і систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy = y `(x) dx, аргументу dx і похідної функції у вигляді їх відносини y` (x) = dy / dx.

Сучасне визначення

Що таке диференціал з погляду сучасної математики? Він тісно пов`язаний з поняттям приросту змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y₁, а потім y = y₂, то різниця y₂ - y₁ називається приростом величини y. Приріст може бути позитивним. негативним і рівним нулю. Слово «прирощення» позначається Delta-, запис Delta-у (читається «дельта ігрек») позначає прирощення величини y. так що Delta-у = y₂ - y₁.

Якщо величину Delta-у довільної функції y = f (x) можливе представити у вигляді Delta-у = A Delta-х + alpha-, де у A немає залежності від Delta-х, т. Е. A = const при даному х, а доданок alpha- при Delta-х-0 прагне до нього ж ще швидше, ніж саме Delta-х, тоді перший («головний») член, пропорційний Delta-х, і є для y = f (x) диференціалом, обозначаемимdy або df (x) (читається «де ігрек», «де еф від ікс»). Тому диференціали – це «головні» лінійні щодо Delta-х складові збільшень функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f (t) – відстань прямолінійно рухається матеріальної точки від початкового положення (t – час перебування в дорозі). Приріст Delta-s – це шлях точки за інтервал часу Delta-t, а диференціал ds = f `(t) Delta-t – це шлях, який точка пройшла б за той же час Delta-t, якби вона зберегла швидкість f `(t), досягнуту до моменту t. При нескінченно малому Delta-t уявний шлях ds відрізняється від істинного Delta-s на нескінченно малу величину, що має вищий порядок щодо Delta-t. Якщо швидкість у момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f (x). Тоді Delta- х = MQ, Delta-у = QM `(див. Малюнок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Delta-у на дві частини, QN і NM `. Перша пропорційна Delta-х і дорівнює QN = MQ • tg (кута QMN) = Delta-х f `(x), т. Е QN є диференціал dy.

Друга частина NM`дает різниця Delta-у - dy, при Delta-х-0 довжина NM `зменшується ще швидше, ніж приріст аргументу, т.е у неї порядок малості вище, ніж у Delta-х. У розглянутому випадку, при f `(x) ne- 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM`і QN еквівалентни- іншими словами NM `зменшується швидше (порядок малості її вище), ніж повний приріст Delta-у = QM `. Це видно на малюнку (з наближенням M`к М відрізок NM`составляет все менший відсоток відрізка QM `).

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величиною приросту ординати її дотичній.

Похідна та диференціал

Коефіцієнт A в першому доданку виразу приросту функції дорівнює величині її похідної f `(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення – dy = f `(x) Delta-х, або ж df (x) = f` (x) Delta-х.

Відомо, що прирощення незалежного аргументу одно його диференціалу Delta-х = dx. Відповідно, можна написати: f `(x) dx = dy.

Знаходження (іноді говорять, «рішення») диференціалів виконується за тими ж правилами, що і для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Що більш універсально: приріст аргументу або його диференціал

Тут необхідно зробити деякі пояснення. Подання величиною f `(x) Delta-х диференціала можливо при розгляді х в якості аргументу. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді уявлення диференціала виразом f `(x) Delta-х, як правило, неможливо-крім випадку лінійної залежності х = at + b.

Що ж стосується формули f `(x) dx = dy, то і у випадку незалежного аргументу х (тоді dx = Delta-х), і у випадку параметричної залежності х від t, вона являє диференціал.

Наприклад, вираз 2 x Delta-х представляє для y = x² її диференціал, коли х є аргумент. Покладемо тепер х = t² і будемо вважати t аргументом. Тоді y = x² = T⁴.

Далі слід (t + Delta-t)² = T² + 2tDelta-t + Delta-t². Звідси Delta-х = 2tDelta-t + Delta-t². Значить: 2xDelta-х = 2t² (2tDelta-t + Delta-t² ).

Цей вираз не пропорційно Delta-t і тому тепер 2xDelta-х не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x² = T⁴. Він виявляється дорівнює dy = 4t³Delta-t.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, то воно являє диференціал y = x² при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t² отримаємо dx = 2tDelta-t.

Значить 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4t³Delta-t, т. Е. Вираження диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна збільшень диференціалами

Якщо f `(x) ne- 0, то Delta-у і dy еквівалентні (при Delta-х-0) - при f `(x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x², то Delta-у = (x + Delta-х)² - x²= 2xDelta-х + Delta-х², а dy = 2xDelta-х. Якщо х = 3, то маємо Delta-у = 6Delta-х + Delta-х² і dy = 6Delta-х, які еквівалентні внаслідок Delta-х²-0, при х = 0 величини Delta-у = Delta-х² і dy = 0 не еквівалентні.

Цей факт, разом з простою структурою диференціала (т. Е. Лінійності по відношенню до Delta-х), часто використовується в наближених обчисленнях, в припущенні, що Delta-у asymp- dy для малих Delta-х. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значення приросту.

Наприклад, маємо металевий куб з ребром х = 10,00 см. При нагріванні ребро подовжилося на Delta-х = 0,001 см. Наскільки збільшився обсяг V куба? Маємо V = х², так що dV = 3x²Delta-х = 3 • 10²• 0/01 = 3 (див³). Збільшення обсягу Delta-V еквівалентно диференціалу dV, так що Delta-V = 3 см³. Повний обчислення дало б Delta-V = 10,01³ - 10³ = 3,003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої ненадежни- значить, все одно, слід округлити його до 3 см³.

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину вноситься при цьому помилки.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x³, не знаходячи похідної. Дамо аргументу прирощення і визначимо Delta-у.

Delta-у = ( Delta-х + x)³ - x³ = 3x²Delta-х + (3xDelta-х² + Delta-х³).

Тут коефіцієнт A = 3x² не залежить від Delta-х, так що перший член пропорційний Delta-х, інший же член 3xDelta-х² + Delta-х³при Delta-х-0 зменшується швидше, ніж приріст аргументу. Стало бути, член 3x²Delta-х є диференціал y = x^3:

dy = 3x²Delta-х = 3x²dx або ж d (x³) = 3x²dx.

При цьому d (x³) / Dx = 3x².

Знайдемо тепер dy функції y = 1 / x через її похідну. Тоді d (1 / x) / dx = -1 / г². Тому dy = - Delta-х / х².

Диференціали основних алгебраїчних функцій наведені нижче.

Наближені обчислення із застосуванням диференціала

Обчислити функцію f (x), а також її похідну f `(x) при x = a часто неважко, а от зробити те ж саме в околиці точки x = a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближене вираження

f (a + Delta-х) asymp- f `(a) Delta-х + f (a).

Воно дає наближене значення функції при малих збільшеннях Delta-х через її диференціал f `(a) Delta-х.

Отже, дана формула дає наближене вираження для функції в кінцевій точці деякої ділянки довжиною Delta-х у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x = a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє малюнок нижче.

Однак відомо і точний вираз значення функції для x = a + Delta-х, що дається формулою кінцевих збільшень (або, інакше, формулою Лагранжа)

f (a + Delta-х) asymp- f `(xi-) Delta-х + f (a),

де точка x = a + xi- знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Delta-х, хоча точне положення її невідомо. Точна формула дозволяє оцінювати похибка наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти xi- = Delta-х / 2, то хоча вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідне вираз через диференціал.

Оцінка похибки формул за допомогою застосування диференціала

Вимірювальні інструменти в принципі неточні, і привносять в дані вимірювань, відповідні помилки. Їх характеризують граничної абсолютною похибкою, або, коротше, граничної похибкою – позитивним числом, свідомо перевищує цю помилку за абсолютною величиною (або в крайньому випадку рівним їй). Граничною відносною похибкою називають частка від її поділу на абсолютне значення виміряної величини.

Нехай точна формула y = f (x) використана для вичісляенія функції y, але значення x Тобто результат вимірювання і тому привносить в y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку ¦ Delta-у¦функціі y, використовують формулу

¦ Delta-у¦asymp-¦ dy¦ = ¦ f `(x) ¦¦Delta-х¦,

де ¦Delta-х¦является граничної похибкою аргументу. Величину ¦ Delta-у¦ слід округлити в сторону збільшення, тому неточною є сама заміна обчислення прирощення на обчислення диференціала.