Що таке інтеграл, і який його фізичний зміст

Виникнення поняття інтеграла було обумовлено необхідністю знаходження первісної функції по її похідної, а також визначення величини роботи, площі складних фігур, відстані пройденого шляху, при параметрах, окреслених кривими, описаними нелінійними формулами.

З курса фізики відомо, що робота дорівнює добутку сили на відстань. Якщо все рух відбувається з постійною швидкістю або відстань долається з додатком однієї і тієї ж сили, то все зрозуміло, потрібно їх просто перемножити. Що таке інтеграл від константи? Це лінійна функція виду y = kx + c.

Але сила протягом роботи може змінюватися, причому в якийсь закономірною залежності. Така ж ситуація виникає і з обчисленням пройденої відстані, якщо швидкість непостійна.

Отже, зрозуміло, для чого потрібен інтеграл. Визначення його як суми добутків значень функції на нескінченно малий приріст аргументу цілком описує головний сенс цього поняття як площа фігури, обмеженої зверху лінією функції, а по краях - межами визначення.

Жан Гастон Дарбу, французький математик, у другій половині XIX століття дуже наочно пояснив, що таке інтеграл. Він зробив це настільки зрозуміло, що в цілому розібратися в цьому питанні не складе труднощів навіть школяреві молодших класів середньої школи.

Припустимо, є функція будь-якої складної форми. Вісь ординат, на якій відкладаються значення аргументу, розбивається на невеликі інтервали, в ідеалі вони нескінченно малі, але так як поняття нескінченності досить абстрактно, то достатньо уявити собі просто невеликі відрізки, величину яких зазвичай позначають грецькою буквою Delta- (дельта).

Функція виявилася «нарізаною» на маленькі цеглинки.

Кожному значенню аргументу відповідає точка на осі ординат, на якій відкладаються відповідні значення функції. Але так як кордонів у виділеної ділянки дві, то і значень функції теж буде два, більше і менше.

Сума добутків бо? Льшіх значень на прирощення Delta- називається великою сумою Дарбу, і позначається як S. Відповідно, менші на обмеженій ділянці значення, помножені на Delta-, всі разом утворюють малу суму Дарбу s. Сама ділянка нагадує прямокутну трапецію, так як кривизною лінії функції при нескінченно малому її збільшенні можна знехтувати. Найпростіший спосіб знайти площа такої геометричної фігури - це скласти твори більшого і меншого значення функції на Delta - приріст і поділити на два, тобто визначити як середнє арифметичне.

Ось що таке інтеграл по Дарбу:

s = Sigma-f (x) Delta- - мала Сумма-

S = Sigma-f (x + Delta-) Delta- - велика сума.

Отже, що таке інтеграл? Площа, обмежена лінією функції і межами визначення буде дорівнює:

int-f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

Тобто середнє арифметичне великої і малої сум Дарбу.с - величина постійна, обнуляти при диференціюванні.

Виходячи з геометричного вираження цього поняття, стає зрозумілий і фізичний зміст інтеграла. Площа фігури, окреслена функцією швидкості, і обмежена часовим інтервалом по осі абсцис, становитиме довжину пройденого шляху.

L = int-f (x) dx на проміжку від t1 до t2,

Де

f (x) - функція швидкості, тобто формула, за якою вона змінюється під часу-

L - довжина шляху-

t1 - час початку шляху-

t2 - час закінчення шляху.

Точно за таким же принципом визначається величина роботи, тільки по абсциссе буде відкладатися відстань, а по ординате - величина сили, що додається в кожній конкретній точці.