Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці
Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.
Диференціалом функції називається твір похідної функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично дане поняття можна записати, як вираз: dy = y `* dx.
У свою чергу, за визначенням похідної функції справедливо рівність y `= lim dx-0 (dy / dx), а з визначення межі - вираз dy / dx = x` + alpha-, де параметром alpha- є нескінченно мала математична величина.
Отже, обидві частини виразу варто помножити на dx, що в підсумку дає dy = y `* dx + alpha- * dx, де dx - це нескінченно мала зміна аргументу, (alpha- * dx) - величина, якою можна знехтувати, тоді dy - приріст функції, а (y * dx) - головна частина приросту або диференціал.
Диференціалом функції називається твір похідної функції на диференціал аргументу.
Тепер варто розглянути основні правила диференціювання, які досить часто використовують в математичному аналізі.
Теорема. Похідна суми дорівнює сумі похідних, отриманих від доданків: (а + с) `= а` + с `.
Аналогічним чином це правило буде діяти і для знаходження похідної різниці.
Наслідком даного правила диференціювання є твердження про те, що похідна від деякого числа доданків дорівнює сумі похідних, отриманих від даних доданків.
Наприклад, якщо необхідно знайти похідну від виразу (а + с-к) `, тоді результатом буде вираз а` + с`-к `.
Теорема. Похідна твори математичних функцій, що диференціюються в точці, дорівнює сумі, що складається з твору першого множника на похідну другого і твори другого множника на похідну першого.
Математично теорема буде записана наступним чином: (a * c) `= а * з` + а `* с. Наслідком теореми є висновок про те, що постійний множник в похідній твори можна виносити за похідну функції.
У вигляді алгебраїчного вираження дане правило буде записано таким чином: (а * с) `= а * з`, де а = const.
Наприклад, якщо необхідно знайти похідну виразу (2а3) `, то результатом буде відповідь: 2 * (а3)` = 2 * 3 * 2 = 6 * а2.
Теорема. Похідна відносини функцій дорівнює відношенню між різницею похідною чисельника, помноженої на знаменник, і чисельника, помноженого на похідну знаменника і квадрата знаменника.
Математично теорема буде записана наступним чином: (a / c) `= (а` * с-а * з `) / с2.
На закінчення необхідно розглянути правила диференціювання складних функцій.
Теорема. Нехай задана фукция у = ф (х), де х = с (т), тоді функція у, по відношенню до змінної т, називається складною.
Таким чином, в математичному аналізі похідна складної функції трактується, як похідна самої функції, помножена на похідну її подфункции. Для зручності правила диференціювання складних функцій представляють у вигляді таблиці.
f (x) | f`(X) |
| (1 / с) ` | -(1 / с2) * З ` |
| (Аз) ` | аз* (Ln а) * з ` |
| (Ез) ` | ез* З ` |
| (Ln с) ` | (1 / с) * з ` |
| (Log ac) ` | 1 / (с * lg a) * c ` |
| (Sin c) ` | cos с * з ` |
| (Cos с) ` | -sin с * з ` |
При регулярному використанні даної таблиці похідні легко запам`ятовуються. Решта похідні складних функцій можна знайти, якщо застосувати правила диференціювання функцій, які були викладені в теоремах і наслідках до них.
Повне дослідження функції та диференціальне числення Отримавши великі знання в роботі з функціями, ми озброїлися достатнім набором інструменту, який дозволяє провести повне дослідження конкретно заданої математично закономірності у вигляді формули (функції). Звичайно, можна було б піти найбільш…
Теорема синусів. Рішення трикутників При вивченні трикутників мимоволі постає питання про обчислення залежності між їх сторонами і кутами. В геометрії теорема косинусів і синусів дає найбільш повну відповідь для вирішення цієї проблеми. У достатку різних математичних виразів і формул,…
Парність функції Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона у багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного…
Безперервна функція Безперервна функція являє собою функцію без «стрибків», тобто таку, для якої виконується умова: малих змін аргументу слідують малі зміни відповідних значень функції. Графік подібної функції представляє з себе плавну або безперервну…
Визначення, графік і властивості функції: структура курсу математичного аналізу в школі Вперше з поняттям функції учні освітніх шкіл зазвичай зустрічаються в 7 класі, коли приступають до вивчення курсу алгебри як окремого напрямку математики. Починається вивчення функцій, як правило, без введення складних визначень і термінів, що…
Теорема Ферма та її роль у розвитку математики Теорема Ферма, її загадка і нескінченний пошук рішення займають в математиці багато в чому унікальне положення. Незважаючи на те, що просте і витончене рішення так і не було знайдено, це завдання послужила поштовхом для цілого ряду відкриттів в…
Що таке інтеграл, і який його фізичний зміст Виникнення поняття інтеграла було обумовлено необхідністю знаходження первісної функції по її похідної, а також визначення величини роботи, площі складних фігур, відстані пройденого шляху, при параметрах, окреслених кривими, описаними нелінійними…
Теорема косинусів та її доказ Кожен з нас багато годин просидів над вирішенням тієї чи іншої задачі з геометрії. Звичайно, виникає питання, навіщо взагалі потрібно вчити математику? Питання особливо актуальне для геометрії, знання якої якщо і прігождаются, то дуже рідко. Але у…
Куб різниці і різниця кубів: правила застосування формул скороченого множення Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для більш швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі ж формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення декількох…
Прямокутний трикутник: поняття та властивості Рішення геометричних задач вимагає величезної кількості знань. Одним з основоположних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.Під цим поняттям мається на увазі геометрична фігура, що складається з трьох кутів і сторін, причому величина одного з…
Екстремуми функції - простою мовою про складне Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов'язково знати про наявність першої та другої похідної і розуміти їх фізичний зміст. Для початку потрібно усвідомити таке:екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення…
Ряд Маклорена і розкладання деяких функцій Вивчають вищу математику повинно бути відомо, що сумою якогось статечного ряду, що належить інтервалу збіжності даного нам ряду, виявляється безперервне і безмежне число разів диференційована функція. Виникає питання: чи можна стверджувати, що…
Конструктивні елементи в російській мові. Основа слова У російській мові з'являються нові конструкції, основи яких беруться вже з наявних слів або словосполучень. Кожен елемент можна віднести до певної категорії. Їх усього дві: непохідні і похідні. Існують також різні види основ слова. Далі в статті…