Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці

Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.

Диференціалом функції називається твір похідної функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично дане поняття можна записати, як вираз: dy = y `* dx.

правила диференціювання

У свою чергу, за визначенням похідної функції справедливо рівність y `= lim dx-0 (dy / dx), а з визначення межі - вираз dy / dx = x` + alpha-, де параметром alpha- є нескінченно мала математична величина.

Отже, обидві частини виразу варто помножити на dx, що в підсумку дає dy = y `* dx + alpha- * dx, де dx - це нескінченно мала зміна аргументу, (alpha- * dx) - величина, якою можна знехтувати, тоді dy - приріст функції, а (y * dx) - головна частина приросту або диференціал.

Диференціалом функції називається твір похідної функції на диференціал аргументу.

Тепер варто розглянути основні правила диференціювання, які досить часто використовують в математичному аналізі.

правила диференціювання функцій



Теорема. Похідна суми дорівнює сумі похідних, отриманих від доданків: (а + с) `= а` + с `.

Аналогічним чином це правило буде діяти і для знаходження похідної різниці.
Наслідком даного правила диференціювання є твердження про те, що похідна від деякого числа доданків дорівнює сумі похідних, отриманих від даних доданків.

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну від виразу (а + с-к) `, тоді результатом буде вираз а` + с`-к `.

Теорема. Похідна твори математичних функцій, що диференціюються в точці, дорівнює сумі, що складається з твору першого множника на похідну другого і твори другого множника на похідну першого.



Математично теорема буде записана наступним чином: (a * c) `= а * з` + а `* с. Наслідком теореми є висновок про те, що постійний множник в похідній твори можна виносити за похідну функції.

У вигляді алгебраїчного вираження дане правило буде записано таким чином: (а * с) `= а * з`, де а = const.

основні правила диференціювання

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну виразу (2а3) `, то результатом буде відповідь: 2 * (а3)` = 2 * 3 * 2 = 6 * а2.

Теорема. Похідна відносини функцій дорівнює відношенню між різницею похідною чисельника, помноженої на знаменник, і чисельника, помноженого на похідну знаменника і квадрата знаменника.

Математично теорема буде записана наступним чином: (a / c) `= (а` * с-а * з `) / с2.

На закінчення необхідно розглянути правила диференціювання складних функцій.

Теорема. Нехай задана фукция у = ф (х), де х = с (т), тоді функція у, по відношенню до змінної т, називається складною.

Таким чином, в математичному аналізі похідна складної функції трактується, як похідна самої функції, помножена на похідну її подфункции. Для зручності правила диференціювання складних функцій представляють у вигляді таблиці.

f (x)

f`(X)

(1 / с) `-(1 / с2) * З `
з) `аз* (Ln а) * з `
з) `ез* З `
(Ln с) `(1 / с) * з `
(Log ac) `1 / (с * lg a) * c `
(Sin c) `cos с * з `
(Cos с) `-sin с * з `

При регулярному використанні даної таблиці похідні легко запам`ятовуються. Решта похідні складних функцій можна знайти, якщо застосувати правила диференціювання функцій, які були викладені в теоремах і наслідках до них.




» » Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці