Практичне застосування і знаходження зворотної матриці

Матриця - це таблиця, яка заповнена певним набором чисел у певному порядку. Даний термін був введений в обіг видатним англійським ученим-теоретиком Джеймсом Сильвестром. Він є одним з основоположників теорії застосування даних математичних елементів.

На сьогоднішній день вони знайшли широке застосування при проведенні різних розрахунків, які побудовані на основі такого способу, як, наприклад, знаходження зворотної матриці в різних галузях людської діяльності. Цей спосіб базується на визначенні невідомих параметрів системи різних рівнянь і часто використовується при проведенні економічних розрахунків.

Бувають такі окремі випадки даних математичних компонентів: рядкова, столбцовая, нульова, квадратна, діагональна, одинична. Рядкова складається тільки з одного рядка елементів, а столбцовая - з одного стовпчика чисел. Нульова - всі її елементи рівні 0. У квадратного такого математичного елемента кількість стовпчиків дорівнює кількості рядків. У свою чергу, в діагональної, розташовані на головній діагоналі елементи, відмінні від «0», а решта в ній повинні бути рівні «0». Одинична - це один з підвидів діагональної матриці. У неї на головній діагоналі розташовані тільки «1».

Приклади матриць:

де: A_k - це загальне позначення, a_ij - елементи,

(А) -2-го порядку-

(Б) - строчная-

(В) -3-го порядку-

(Г) - приклад одиничної таблиці 2-го порядку-

Також існує зворотна матриця, визначення якої полягає в наступному. При множенні на первісну таблицю зворотного виходить одинична. Розроблено безліч методів, які забезпечують знаходження зворотної матриці. Найбільш простий з них заснований на визначенні алгебраїчних доповнень і визначника (його також іноді називають детерминантом).

Визначником матриці називається вираз a₁₁a₂₂-a₁₂a_21, позначається він таким чином:? А ?. Наведена формула справедлива для таблиці відповідної другого порядку. Є формули для визначників матриць більш високого порядку. Обов`язкова умова існування визначника - таблиця повинна бути квадратної. На практиці цей елемент даної теорії найчастіше використовується при такій процедурі, як знаходження зворотної матриці.

Другий важливий компонент, за допомогою якого можна знайти значення її елементів, є алгебраїчне доповнення. Обчислюється воно за формулою: A_ij= (- 1) ^i+j * M_ij, де М - це мінор. По суті - це додатковий визначник, який можна отримати шляхом уявного видалення рядка і стовпчика, в яких розташований даний елемент. Наприклад, для таблиці, відповідної другого порядку, що наведена раніше по тексту, у елемента a₁₁ алгебраїчним доповненням буде елемент a₂₂.

Знаходження оберненої матриці виконується в 3 етапи. На першому етапі визначається детермінант. На наступному кроці - все алгебраїчні доповнення, які потім записуються у відповідності зі своїми індексами, і виходить таблиця алгебраїчних доповнень. На завершальному етапі виходить зворотна матриця, знаходження якої закінчується перемножением кожного алгебраїчного доповнення на детермінант.

Найбільш часто матриці використовуються при проведенні економічних розрахунків. З їх допомогою можна легко і швидко обробити великий обсяг інформації. При цьому кінцевий результат буде представлений в зручному для сприйняття вигляді.

Ще однією сферою людської діяльності, в якій матриці також знайшли велике застосування - це моделювання 3D-зображень. Подібні інструменти інтегровані в сучасні пакети для реалізації 3D-моделей і дозволяють конструкторам проводити швидко і точно необхідні розрахунки. Найбільш яскравим представником таких систем є Компас-3D.

Ще однією програмою, в яку інтегровані інструменти для проведення подібних розрахунків, є Microsoft Office, а конкретніше - табличний процесор Excel.