Метод Гаусса: приклади рішень і окремі випадки
Метод Гаусса, також званий методом покрокового виключення невідомих змінних, названий ім`ям видатного німецького вченого К.Ф. Гаусса, ще за життя отримав неофіційний титул "короля математики". Однак даний метод був відомий задовго до зародження європейської цивілізації, ще в I ст. до н. е. стародавні китайські вчені використовували його в своїх працях.
Метод Гаусса є класичним способом вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Він ідеальний для швидкого вирішення обмежених за розміром матриць.
Сам метод складається з двох ходів: прямого і зворотного. Прямим ходом називається послідовне приведення СЛАР до трикутного вигляду, тобто обнулення значень, що знаходяться під головною діагоналлю. Зворотний хід передбачає послідовне знаходження значень змінних, висловлюючи кожну змінну через попередню.
Навчитися застосовувати на практиці метод Гаусса просто, достатньо знання елементарних правил множення, додавання і віднімання чисел.
Для того щоб наочно показати алгоритм вирішення лінійних систем даним методом, розберемо один приклад.
Отже, вирішити, використовуючи метод Гаусса:
x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6
Нам потрібно в другій і третій рядках позбутися змінної х. Для цього ми додаємо до них першу, помножену на -2 і -4 відповідно. Отримаємо:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18
Тепер 2-й рядок помножимо на 5 і додамо її до третього:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18
Ми привели нашу систему до трикутного вигляду. Тепер здійснюємо зворотний хід. Починаємо з останнього рядка:
-3z = -18,
z = 6.
Другий рядок:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9
Перший рядок:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
х = -3
Підставляючи отримані значення змінних у вихідні дані, переконуємося в правильності рішення.
Даний приклад може вирішуватися безліччю будь-яких інших підстановок, але відповідь повинен вийти той же самий.
Буває так, що на провідній першому рядку розташовані елементи із занадто малими значеннями. Це не страшно, але досить ускладнює обчислення. Рішенням даної проблеми є метод Гаусса з вибором головного елемента по стовпцю. Суть його полягає в наступному: в першому рядку відшукується максимальний по модулю елемент, той стовпець, в якому він розташований, міняють місцями з 1-м стовпцем, тобто наш максимальний елемент стає першим елементом головної діагоналі. Далі йде стандартний процес обчислення. При необхідності процедуру зміни місцями стовпців можна повторити.
Ще одним модифікованим методом Гаусса є метод Жордана-Гаусса.
Застосовується при вирішенні квадратних СЛАР, при знаходженні оберненої матриці та рангу матриці (кількості ненульових рядків).
Суть цього методу в тому, що вихідна система шляхом перетворень перетворюється на одиничну матрицю з подальшим віднайденням значень змінних.
Алгоритм його такий:
1. Система рівнянь наводиться, як і в методі Гаусса, до трикутного вигляду.
2. Кожен рядок ділиться на певне число з таким розрахунком, щоб на головній діагоналі вийшла одиниця.
3. Останній рядок множиться на якесь число і віднімається з передостанньої з таким розрахунком, щоб не на головній діагоналі отримати 0.
4. Операція 3 повторюється послідовно для всіх рядків, поки зрештою не утворюється одинична матриця.
Математична матриця. Множення матриць Ще математики стародавнього Китаю використовували у своїх обчисленнях запис у вигляді таблиць з певною кількістю рядків і стовпців. Тоді подібні математичні об'єкти іменувалися як «чарівні квадрати». Хоча відомі й випадки використання таблиць в…
Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАР) Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього методу в тому, що, як видно з назви, поступово висловлюючи з…
Як справити знаходження визначника матриці? Знаходження визначника матриці є важливим дією не тільки для лінійної алгебри: так, наприклад, в економіці за допомогою цього обчислення вирішуються системи лінійних рівнянь з багатьма невідомими, широко застосовуються в економічних задачах.Поняття…
Як вирішувати систему рівнянь лінійного типу Для повного розуміння того, як вирішувати систему рівнянь, слід розглянути, що ж вона являє собою. Як зрозуміло з самого терміна, «система» - це сукупність кількох рівнянь, пов'язаних між собою. Існують системи алгебраїчних і диференціальних…
Практичне застосування і знаходження зворотної матриці Матриця - це таблиця, яка заповнена певним набором чисел у певному порядку. Даний термін був введений в обіг видатним англійським ученим-теоретиком Джеймсом Сильвестром. Він є одним з основоположників теорії застосування даних математичних…
Метод інтерполяції: основні види та обчислювальні алгоритми Значна кількість математичних задач пов'язане із знаходженням розподіленої нерівномірно в просторі інформації. Мова йде про інформаційні системи географічної спрямованості, так як саме в них існує можливість виміряти необхідні величини в певних…
Метод кінцевих елементів - універсальний спосіб вирішення диференціальних рівнянь У сучасній науці існує безліч підходів для побудови кількісної математичної моделі будь-якої системи. І одним з них прийнято вважати метод кінцевих елементів, в основі якого лежить встановлення поведінки диференційного (нескінченно малого) її…
Факторний аналіз: приклад складання і його особливості Для того, щоб з'ясувати, наскільки прибутковим або збитковим є підприємство, недостатньо просто рахувати гроші. Щоб зрозуміти це напевно, а головне, сприяти збільшенню прибутку, потрібно регулярно проводити факторний аналіз виручки і в цілому роботи…
Метод Гоморі. Рішення задач цілочисельного програмування Маса завдань економічного характеру, проблем планування і навіть вирішення питань з інших сфер людської життєдіяльності пов'язано зі змінними, що відносяться до цілих числах. В результаті їх аналізу та пошуку оптимальних способів вирішення з'явилося…
Метод дихотомії Дихотомія в перекладі з грецької мови означає "послідовний розподіл надвоє" або "роздвоєність". Дихотомічне розподіл досить успішно використовується в математиці і логіці для класифікації елементів, а в філософії та лінгвістиці - для утворення…
Симплексний метод і його застосування Будь-яке графічне вирішення завдань, поставлених у лінійному програмуванні, визначає, що найбільш правильне (оптимальне) рішення будь-який з завдань повністю асоціюється з крайньою точкою множини (або кутовий точкою простору). На цій ідеї…
Метод Зейделя-Гаусса. Інтернаціональний метод Метод Зейделя (друга назва - Гаусса-Зейделя) - це класичний інтернаціональний метод, за допомогою якого можна вирішувати різні системи лінійних рівнянь. Зараз ми розповімо про це більш детально.Суть роботиДаний спосіб є своєрідною спрощеної…
Метод головних компонент Метод головних компонент ґрунтується на спробах пояснити максимальний рівень дисперсії в певному наборі змінних, і зорієнтований на елементи, розташовані в кореляційної матриці по діагоналі. Існує ще один метод, побудований на факторному аналізі,…