Властивості матриці і її визначника

Властивості матриць - питання, яке у багатьох може викликати складності. Тому варто розглянути його докладніше.

Матриця - це таблиця прямокутного виду, що включає в себе числа і елементи. Також це якась сукупність чисел та елементів якої-небудь іншої структури, які записані як прямокутна таблиця, що складається з певної кількості рядків і стовпців. Така таблиця обов`язково повинна бути укладена в дужки. Це можуть бути округлі дужки, дужки квадратного типу або подвійні дужки прямого типу. Всі числа в матриці носять назву - елемент матриці, а також вони мають свої координати в поле таблиці. Матриця в обов`язковому порядку позначається прописною буквою латинського алфавіту.

Властивості матриць або математичних таблиць включають кілька аспектів. Додавання і віднімання матриць проходить строго поелементно. Множення і ділення їх виходить за рамки звичайної арифметики. Щоб помножити одну матрицю на іншу, потрібно згадати відомості про скалярному творі одного вектора на інший.

С = (а, b) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + ... + а N b N

Властивості множення матриць мають деякі нюанси. Твір однієї матриці на іншу є некомутативними, тобто (a, b) не дорівнює (a, b).

В основні властивості матриць входить таке поняття, як міра пристойності. Мірою пристойності для таких таблиць вважається визначник. Визначник - це якась функція декількох елементів квадратної матриці, що входить в порядок n. Іншими словами визначник називається детермінант. У таблиці з другим порядком визначник прирівнюється до різниці творів чисел або елементів двох діагоналей цієї матриці А11А22-А12A21. Визначник для матриці з більш високим порядком виражається визначниками її блоків.

Щоб зрозуміти, наскільки вироджена матриця, було введено таке поняття, як ранг (rank) матриці. Ранг - це кількість незалежних лінійно стовпців і рядків цієї таблиці. Матриця може бути інвертіруема лише тоді, коли ранг її є повним, тобто rank (A) дорівнює N.

Властивості визначників матриці включають в себе:

1. Для квадратної матриці визначник не зміниться при її транспонировании. Тобто детермінант даної матриці буде прирівнюватися до детерминанту цієї таблиці в транспоновану вигляді.

2. Якщо який-небудь стовпець або будь-який рядок буде включати в себе одні нулі, тоді визначник такої матриці буде прирівнюватися до нуля.

3. Якщо в матриці будь-які два шпальти чи будь два рядки поміняти місцями, то знак визначника такої таблиці змінить своє значення на протилежне.

4. Якщо будь стовпець або будь-який рядок матриці помножити на якесь число, то і визначник її множиться на це ж число.

5. Якщо в матриці будь-який з елементів записаний, як сума двох або більше компонентів, то визначник такої таблиці записується, як сума кількох визначників. Кожен визначник такої суми - це визначник матриці, у якій замість елемента, представленого сумою, записано одне з доданків цієї суми відповідно до черговості визначника.

6. Якщо в якій-небудь матриці є два рядки з однаковими елементами або два однакових шпальти, то визначник цієї таблиці прирівнюється до нуля.

7. Також визначник прирівнюється до нуля у такої матриці, у якої два стовпці або два рядки пропорційні один одному.

8. Якщо елементи якого-небудь рядка або стовпця помножити на якесь число, а потім додати до них елементи в іншому рядку або стовпці цієї ж матриці, відповідно, то визначник даної таблиці не зміниться.

У загальній складності, можна сказати, що властивості матриць представляють собою набір складних, але в той же час необхідних знань про сутність таких математичних одиниць. Всі властивості матриці безпосередньо залежать від її компонентів та елементів.