Як зрозуміти, чому «плюс» на «мінус» дає «мінус»?

Слухаючи вчителя математики, більшість учнів сприймають матеріал як аксіому. При цьому мало хто намагається дістатися до суті і розібратися, чому «мінус» на «плюс» дає знак «мінус», а при множенні двох негативних чисел виходить позитивне.

Закони математики

Більшість дорослих не в силах пояснити ні собі, ні своїм дітям, чому так виходить. Вони твердо засвоїли цей матеріал в школі, але при цьому навіть не спробували з`ясувати, звідки взялися такі правила. А дарма. Найчастіше сучасні діти не настільки довірливі, їм необхідно докопатися до самої суті і зрозуміти, скажімо, чому «плюс» на «мінус» дає «мінус». А іноді шибеники спеціально задають каверзні питання, щоб насолодитися моментом, коли дорослі не можуть дати зрозумілої відповіді. І зовсім вже біда, якщо халепу потрапляє молодий учитель ...

До речі, слід зазначити, що згадане вище правило дієво як для множення, так і для поділу. Твір негативного і позитивного числа дасть лише «мінус. Якщо мова йде про двох цифрах зі знаком «-», то в результаті вийде позитивне число. Те ж стосується і ділення. Якщо одне з чисел буде негативним, то приватне теж буде зі знаком «-».

Для пояснення правильності цього закону математики, необхідно сформулювати аксіоми кільця. Але для початку слід зрозуміти, що це таке. У математиці кільцем прийнято називати безліч, в якому задіяні дві операції з двома елементами. Але розбиратися з цим краще на прикладі.

Аксіома кільця

Існує кілька математичних законів.

• Перший з них переместительное, згідно з ним, C + V = V + C.
• Другий називається сочетательність (V + C) + D = V + (C + D).

Їм же підпорядковується і множення (V х C) х D = V х (C х D).

Ніхто не скасовував і правил, за якими відкриваються дужки (V + C) х D = V х D + C х D, також вірно, що C х (V + D) = C х V + C х D.

Крім того, встановлено, що в кільце можна ввести спеціальний, нейтральний по додаванню елемент, при використанні якого буде вірно наступне: C + 0 = C. Крім того, для кожного C є протилежний елемент, який можна позначити, як (-C). При цьому C + (-C) = 0.

Виведення аксіом для негативних чисел

Прийнявши наведені вище твердження, можна відповісти на питання: «" Плюс "на" мінус "дає якийсь знак?» Знаючи аксіому про множення негативних чисел, необхідно підтвердити, що дійсно (-C) х V = - (C х V). А також, що вірно така рівність: (- (- C)) = C.

Для цього доведеться спочатку довести, що у кожного з елементів існує лише один йому протилежний «побратим». Розглянемо наступний приклад докази. Давайте спробуємо уявити, що для C протилежними є два числа - V і D. З цього випливає, що C + V = 0 і C + D = 0, тобто C + V = 0 = C + D. Згадуючи про переместітельних законах і про властивості числа 0, можна розглянути суму всіх трьох чисел: C, V і D. Спробуємо з`ясувати значення V. Логічно, що V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, адже значення C + D, як було прийнято вище, дорівнює 0. Отже, V = V + C + D.

Точно так же виводиться і значення для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Виходячи з цього, стає ясно, що V = D.

Для того щоб зрозуміти, чому все ж «плюс» на «мінус» дає «мінус», необхідно розібратися з наступним. Так, для елемента (-C) протилежними є C і (- (- C)), тобто між собою вони рівні.

Тоді очевидно, що 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. З цього випливає, що C х V протилежно (-) C х V, значить, (- C) х V = - (C х V).

Для повної математичної строгості необхідно ще підтвердити, що 0 х V = 0 для будь-якого елементу. Якщо слідувати логіці, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А це означає, що додаток твори 0 х V ніяк не міняє встановлену суму. Адже цей твір дорівнює нулю.

Знаючи всі ці аксіоми, можна вивести не тільки, скільки «плюс» на «мінус» дає, але і що виходить при множенні негативних чисел.

Множення і ділення двох чисел зі знаком «-»

Якщо не заглиблюватися в математичні нюанси, то можна спробувати більш простим способом пояснити правила дій з негативними числами.

Припустимо, що C - (-V) = D, виходячи з цього, C = D + (-V), тобто C = D - V. Переносимо V і отримуємо, що C + V = D. Тобто C + V = C - (-V). Цей приклад пояснює, чому в вираженні, де йдуть два «мінуса» підряд, згадані знаки слід поміняти на «плюс». Тепер розберемося з множенням.

(-C) Х (-V) = D, в вираз можна додати і відняти два однакових твори, які не поміняють його значення: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.

Згадайте про правила роботи з дужками, отримуємо:

1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D-

2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D-

3) (-C) х 0 + C х V = D-

4) C х V = D.

З цього випливає, що C х V = (-C) х (-V).

Аналогічно можна довести, що і в результаті ділення двох негативних чисел вийде позитивне.

Загальні математичні правила

Звичайно, таке пояснення не підійде для школярів молодших класів, які тільки починають вчити абстрактні негативні числа. Їм краще пояснювати на видимих предметах, маніпулюючи знайомим їм терміном задзеркалля. Наприклад, придумані, але не існуючі іграшки знаходяться саме там. Їх і можна відобразити зі знаком «-». Множення двох задзеркальному об`єктів переносить їх у ще один світ, який прирівнюється до справжньому, тобто в результаті ми маємо позитивні числа. А ось множення абстрактного негативного числа на позитивне лише дає знайомий усім результат. Адже «плюс» помножити на «мінус» дає «мінус». Правда, в молодшому шкільному віці діти не дуже-то намагаються вникнути у всі математичні нюанси.

Хоча, якщо дивитися правді в очі, для багатьох людей навіть з вищою освітою так і залишаються загадкою багато правил. Всі приймають як даність те, що викладають їм вчителі, не важко вникати у всі складнощі, які таїть в собі математика. «Мінус» на «мінус» дає «плюс» - про це знають всі без винятку. Це вірно як для цілих, так і для дрібних чисел.