Властивості логарифмів, або дивне - поруч ...

Потреба в обчисленнях з`явилася у людини відразу ж, як тільки він зумів дати кількісну оцінку оточуючих його предметів. Можна припустити, що логіка кількісної оцінки поступово призвела до необхідності проведення розрахунків типу «складання-віднімання». Ці два найпростіших дії споконвічно є основними - всі інші маніпуляції з числами, відомі, як множення, ділення, спорудження до рівня і т.д. - Це проста «механізація» деяких обчислювальних алгоритмів, в основі яких лежить найпростіша арифметика - «скласти-відняти». Як би там не було, але створення алгоритмів обчислень є великим досягненням думки, а їх автори назавжди залишають свій слід у пам`яті людства.

Шість-сім століть тому в галузі морської навігації і астрономії зросла потреба у великих обсягах обчислень, що й не дивно, тому саме середньовіччя відомо розвитком мореплавання і астрономії. У точній відповідності з фразою «потреба народжує пропозицію» кількох математиків осяяла ідея - замінити вельми трудомістку операцію множення двох чисел простим складанням (дуально розглядалася і ідея замінити поділ відніманням). Робочий варіант нової системи обчислень був викладений в 1614 році в роботі Джона Непера з дуже примітною назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів». Безумовно, подальше вдосконалення нової системи тривало і далі, але основні властивості логарифмів були викладені ще Непером. Ідея системи обчислення з використанням логарифмів полягала в тому, що якщо якийсь ряд чисел утворює геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють теж прогресію, але вже арифметичну. При наявності заздалегідь складених таблиць нова методика ведення розрахунків спрощувала обчислення, а перша логарифмічна лінійка (1620 рік) стала, мабуть, першим древнім і дуже ефективним калькулятором - незамінним інженерним інструментом.

Для першопрохідців дорога завжди з вибоїнами. Спочатку підстава логарифма було взято невдало, і точність розрахунків була невисока, але вже в 1624 році були видані уточнені таблиці з десятковим підставою. Властивості логарифмів випливають із суті визначення: логарифм числа b - це таке число С, яке, будучи ступенем підстави логарифма (число A), дає в результаті число b. Класичний варіант запису виглядає так: logA (b) = C - що читають так: логарифм b, по підставі A, є число C. Для виконання дій з використанням не зовсім звичайних, логарифмічних чисел, необхідно знати якийсь набір правил, відомий як «властивості логарифмів ». В принципі всі правила мають загальний підтекст - як складати, віднімати і перетворювати логарифми. Ось тепер ми і дізнаємося, як це робиться.

Логарифмический нуль і одиниця

1. logA (1) = 0, логарифм числа 1 дорівнює 0 при будь-якій підставі - це прямий наслідок зведення числа в нульову ступінь.

2. logA (A) = 1, логарифм однакового з основою числа дорівнює 1 - також добре відома істина для будь-якого числа в першого ступеня.

Додавання і віднімання логарифмів

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - сума логарифмів кількох чисел дорівнює логарифму їхні твори.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - різниця логарифмів чисел, аналогічно з попереднім, дорівнює логарифму відношення цих чисел.

5. logA (1 / n) = - logA (n), логарифм зворотного числа дорівнює логарифму цього числа зі знаком «мінус». Неважко бачити, що це результат попереднього виразу 4 при m = 1.

Нескладно помітити, що правила 3-5 припускають в обох частинах рівностей однакову основу логарифма.

Показники ступеня в логарифмічних виразах

6. logA (mn) = n * logA (m), логарифм числа в ступені n дорівнює логарифму цього числа, помноженому на показник ступеня n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), що читається як «логарифм числа b, якщо підстава має вигляд Ac, дорівнює добутку логарифма b з основою A і числа, зворотного c».

Формула зміни підстави логарифма

8. logA (b) = - logC (b) / logc (A), логарифм числа b з основою A при переході до основи C обчислюється як частка логарифма b з основою С і логарифма з основою З числа, рівного попереднього основи A, причому зі знаком «мінус».

Перераховані вище логарифми та їх властивості дозволяють при належному застосуванні спростити обчислення великих числових масивів, завдяки чому скорочується час проведення чисельних розрахунків і забезпечується прийнятна точність.

Зовсім не дивно, що в науці і техніці властивості логарифмів чисел застосовуються для більш природного подання фізичних явищ. Наприклад, широко відоме застосування відносних величин - децибели при вимірюванні інтенсивності звуку і світла у фізиці, абсолютної зоряної величини в астрономії, водневого показника рН в хімії та ін.

Ефективність логарифмічних обчислень легко перевірити, якщо взяти, наприклад, і перемножити 3 пятіразрядний числа «вручну» (в стовпчик), за допомогою таблиць логарифмів на аркуші паперу і за допомогою логарифмічної лінійки. Досить сказати, що в останньому випадку обчислення займуть від сили секунд 10. Що найдивніше, так це те, що на сучасному калькуляторі ці обчислення займуть часу не менше.