Що таке натуральне число? Історія, область застосування, властивості

Математика виділилася із загальної філософії приблизно в шостому столітті до н. е., і з цього моменту почалося її переможну ходу по світу. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався в диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутаніше, і настав той момент, коли «розпочалася найскладніша математика - з неї зникли всі числа». Але що ж лежало в основі?

Початок почав

Натуральні числа з`явилися нарівні з першими математичними операціями. Раз корінець, два корінець, три корінець ... З`явилися вони завдяки індійським вченим, які вивели першу позиційну систему числення. Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри в числі суворо визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й ті ж, але числа не є рівносильними, оскільки перші включає в себе 7 сотень, тоді як друга - тільки 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того вигляду, який ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, найбільший математик Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями - вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичної сторони, то що таке натуральне число? Поле натуральних чисел позначається як N і являє собою нескінченний ряд з чисел, які є цілими і позитивними: 1, 2, 3, ... + infin-. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів і вказівки порядку.

Що таке натуральне число в математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, на яке спирається елементарна математика. З плином часу виділяли поля цілих, раціональних, комплексних чисел.

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано зробили можливою подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності і підготували грунт для подальших висновків, які виходили за рамки області поля N. Що таке натуральне число, було з`ясовано раніше простою мовою, нижче буде розглянуто математичне визначення на базі аксіом Пеано.

• Одиниця вважається натуральним числом.
• Число, яке йде за натуральним числом, є натуральним.
• Перед одиницею немає ніякого натурального числа.
• Якщо число b слід як за числом c, так і за числом d, то c = d.
• Аксіома індукції, яка в свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деякий твердження, яке залежить від параметра, вірно для числа 1, то покладемо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження вірне і для n = 1 з поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Так як поле N стало першим для математичних розрахунків, то саме до нього ставляться як галузі визначення, так і області значень ряду операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю є те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат в рамках безлічі N незалежно від того, які числа задіяні. Досить того, що вони натуральні. Результат інших численних взаємодій вже не настільки однозначний і безпосередньо залежить від того, що за числа беруть участь у вираженні, так як він може суперечити основному визначенням. Отже, замкнуті операції:

• додавання - x + y = z, де x, y, z включені в поле N;
• множення - x * y = z, де x, y, z включені в поле N;
• зведення до степеня - x^y, де x, y включені в поле N.

Інші операції, підсумок яких може не існувати в контексті визначення "що таке натуральне число", наступні:

• віднімання - x - y = z. Поле натуральних чисел допускає його лише в тому випадку, якщо x більше y;
• розподіл - x / y = z. Поле натуральних чисел допускає його лише в тому випадку, якщо z ділиться на y без залишку, тобто без остачі.

Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на наступних властивостях, самих тривіальних, але від цього не менш важливих.

• Переместительное властивість складання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
• Переместительное властивість множення - x * y = y * x, де числа x, y включені в поле N.
• Сочетательное властивість складання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
• Сочетательное властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені в поле N.
• розподільна властивість - x (y + z) = x * y + x * z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не тільки з точки зору науки, але і як найцінніший науковий пам`ятник.

Дана таблиця множення зазнала з часом ряд змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі ...). Вона являє собою таблицю, в якій заголовки рядків і стовпців - числа, а вміст комірок їх перетину одно їх же твором.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубрювання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: твір чисел зростає на один крок, який дорівнює назвою рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати шукане твір. Дана система не в приклад зручніше тієї, що практикувалася в середні століття: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіально, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

На даний момент поле натуральних чисел N розглядається лише як одне з підмножин комплексних чисел, але це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе і навколишній світ. Раз пальчик, два пальчик ... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину і виводити наслідок, готуючи грунт для великих відкриттів.