Ділення на нуль: чому не можна?

Сувора заборона на розподіл на нуль накладається ще в молодших класах школи. Діти зазвичай і не замислюються про його причини, але насправді знати, чому що-небудь забороняється, і цікаво, і корисно.

Арифметичні дії

Арифметичні дії, які вивчаються в школі, нерівноцінні з точки зору математиків. Вони визнають повноправними тільки дві з цих операцій - додавання і множення. Вони входять в саме поняття числа, і всі інші дії з числами так чи інакше будуються на цих двох. Тобто неможливо не тільки розподіл на нуль, але і ділення взагалі.

Віднімання і ділення

Чого ж не вистачає іншим діям? Знову ж таки, зі школи відомо, що, наприклад, відняти з семи чотири - значить, взяти сім цукерок, чотири з них з`їсти і порахувати ті, що залишаться. Але математики не вирішують завдання поїданням цукерок і взагалі сприймають їх зовсім інакше. Для них є тільки додавання, тобто запис 7 - 4 означає число, яке в сумі з числом 4 дорівнюватиме 7. Тобто для математиків 7 - 4 - це короткий запис рівняння: х + 4 = 7. Це не віднімання, а завдання - знайти таке число, яке потрібно поставити замість х.

Те ж саме відноситься до поділу і множенню. Ділячи десять на два, младшеклассников розкладає десять цукерок на дві однакові купки. Математик ж і тут бачить рівняння: 2 middot- х = 10.

Так і з`ясовується, чому заборонено поділ на нуль: воно просто неможливо. Запис 6: 0 повинна перетворюватися в рівняння 0 middot- х = 6. Тобто потрібно знайти число, яке можна помножити на нуль і отримати 6. Але відомо, що множення на нуль завжди дає нуль. Це сутнісна властивість нуля.

Таким чином, немає такого числа, яке, збільшуючись на нуль, давало б якесь число, відмінне від нуля. Значить, у цього рівняння немає рішення, немає такого числа, яке співвідносилося б із записом 6: 0, тобто вона не має сенсу. Про її безглуздя і кажуть, коли забороняють поділ на нуль.

Чи ділиться нуль на нуль?

А чи можна нуль розділити на нуль? Рівняння 0 middot- х = 0 не викликає ускладнень, і можна взяти за х цей самий нуль і отримати 0 middot- 0 = 0. Тоді 0: 0 = 0? Але, якщо, наприклад, прийняти за х одиницю, теж вийде 0 middot- 1 = 0. Можна прийняти за х взагалі яке завгодно число і ділити на нуль, і результат залишиться тим самим: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 і так далі.

Таким чином, в це рівняння можна вставити абсолютно будь-яке число, і неможливо вибрати якесь конкретне, неможливо визначити, яке число позначається записом 0: 0. Тобто і цей запис теж не має сенсу, і ділення на нуль все одно неможливо: він не ділиться навіть сам на себе.

Така важлива особливість операції ділення, тобто множення і пов`язаного з ним числа нуль.

Залишається питання: чому ділити на нуль не можна, але віднімати його можна? Можна сказати, що справжня математика починається з цього цікавого питання. Щоб знайти відповідь на нього, необхідно дізнатися формальні математичні визначення числових множин і познайомитися з операціями над ними. Наприклад, існують не тільки прості, але і комплексні числа, поділ яких відрізняється від ділення звичайних. Це не входить до шкільної програми, але університетські лекції з математики починаються саме з цього.