Парність функції

Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона у багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Взагалі кажучи, досліджувану функцію вважають парної, якщо для протилежних значень незалежної змінної (x), що знаходяться в її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f (x), яка задана в області D. Вона буде парної, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить в даній області визначення,

• f (-x) = f (x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідна для області визначення подібної функції, а саме, симетричність відносно точки О, яка є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить у цій галузі. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний по відношенню до осі ординат (Oy) вид.

Як на практиці визначити парність функції?

Нехай функціональна залежність задається за допомогою формули h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Слідуючи алгоритмом, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) його протилежне значення (-x).
Отримуємо:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Оскільки складання задовольняє комутативну (переместительному) закону, то очевидно, h (-x) = h (x) і задана функціональна залежність - парна.

Перевіримо парність функції h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). Слідуючи тим же алгоритмом, одержуємо, що h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. Винісши мінус, в підсумку, маємо
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). Отже, h (x) - непарна.

До речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають ряд цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій отримують четную;
• в результаті віднімання таких функцій отримують четную;
• функція, зворотна парній, також четная;
• в результаті множення двох таких функцій отримують четную;
• в результаті множення непарній і парній функцій отримують нечетную;
• в результаті поділу непарній і парній функцій отримують нечетную;
• похідна такої функції - нечетная-
• якщо звести непарну функцію в квадрат, отримаємо парну.

Парність функції можна використовувати при вирішенні рівнянь.

Щоб вирішити рівняння типу g (x) = 0, де ліва частина рівняння представляє з себе парну функцію, буде цілком достатньо знайти її вирішення для невід`ємних значень змінної. Отримані корені рівняння необхідно об`єднати з протилежними числами. Один з них підлягає перевірці.

Це ж властивість функції успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.

Наприклад, чи є якесь значення параметра a, при якому рівняння 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 буде мати три кореня?

Якщо врахувати, що змінна входить в рівняння в парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то їм же є і протилежна число. Висновок очевидний: корені рівняння, відмінні від нуля, входять в безліч його рішень «парами».

Ясно, що саме число 0 коренем рівняння не є, тобто число коренів подібного рівняння може бути тільки парних і, природно, ні при якому значенні параметра воно не може мати трьох коренів.

А ось число коренів рівняння 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 може бути непарних, причому для будь-якого значення параметра. Дійсно, легко перевірити, що безліч коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його в рівняння, отримуємо 2 = 2. Таким чином, крім «парних» 0 також є коренем, що і доводить їх непарна кількість.