Дріб. Множення дробів звичайних, десяткових, змішаних

В курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається в процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якого-небудь вирази, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа з`явилися через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади на визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного паралелепіпеда, площі прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям, як частка. Приміром, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, рівна frac12- від будь-якої величини, називається половіной-? - Третє- frac14- - чвертю. Записи виду ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ називають звичайними дробами. Звичайна дріб розділяється на чисельник і знаменник. Між ними знаходиться риса дробу, або дробова риса. Дробову риску можна намалювати у вигляді як горизонтальною, так і похилої лінії. В даному випадку вона позначає знак ділення.

Знаменник представляє, на скільки однакових часток поділяють величину, предмет-а чисельник - скільки однакових часток взято. Чисельник пишеться над дробової рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний відрізок розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською буквою, то в результаті можна отримати відмінне наочний посібник. Так, точка А показує частку, рівну ¹/₄ від усього одиничного відрізка, а точка В відзначає ²/₈ від даного відрізка.

Різновиди дробів

Дробу бувають звичайні, десяткові, а також змішані числа. Крім того, дробу можна розділити на правильні і неправильні. Ця класифікація більше підходить для звичайних дробів.

Під правильної дробом розуміють число, у якого чисельник менше знаменника. Відповідно, неправильна дріб - число, у якого чисельник більше знаменника. Другий вид зазвичай записують у вигляді змішаного числа. Такий вираз складається з цілої і дробової частини. Наприклад, 1frac12-. 1 - ціла частина, frac12- - дробова. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл або множення дробів, їх скорочення або перетворення), змішане число переводиться в неправильну дріб.

Правильне дробове вираження завжди менше одиниці, а неправильне - більше або дорівнює 1.

Що стосується десяткових дробів, то під цим виразом розуміють запис, в якому представлено будь-яке число, знаменник дрібного вираження якого можна виразити через одиницю з кількома нулями. Якщо дріб правильна, то ціла частина в десяткового запису буде дорівнює нулю.

Щоб записати десяткову дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробової за допомогою коми і потім вже записати дробове вираження. Необхідно пам`ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів в знаменнику.

Приклад. Уявити дріб 7²¹/₁₀₀₀ в десяткового запису.

Алгоритм перекладу неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильну дріб некоректно, тому її потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• в конкретному прикладі неповна частка - целое;
• і залишок - чисельник дробової частини, причому знаменник залишається незмінним.

Приклад. Перекласти неправильну дріб в змішане число: ⁴⁷/₅.

Рішення. 47: 5. Неповне приватна дорівнює 9, залишок = 2. Значить, ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Іноді потрібно представити змішане число в якості неправильного дробу. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного вираженія;
• отримане твір додається до чіслітелю;
• результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

Приклад. Уявити число в змішаному вигляді як неправильного дробу: 9⁸/₁₀.

Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - чисельник.

Відповідь: ⁹⁸/_10.

Множення дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник зі знаменником. Причому множення дробів з різними знаменниками не відрізняється від твору дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. В обов`язковому порядку потрібно максимально спростити вийшло вираз. Звичайно, не можна сказати, що неправильна дріб у відповіді - це помилка, але і назвати вірною відповіддю її теж важко.

Приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: frac12- і ²⁰/₁₈.

Як видно з прикладу, після знаходження твори вийшла скоротні дробова запис. І чисельник, і знаменник в даному випадку ділиться на 4, і результатом виступає відповідь ⁵/₉.

Множення дробів десяткових

Твір десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• дві десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри виявилися одна під інший;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральние;
• підрахувати кількість цифр після знаку коми у кожному з чісел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати праворуч стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити відокремлює знак;
• якщо цифр у творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, рівну нулю.

Приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 і 3,6.

Рішення.

Множення змішаних дробів

Щоб обчислити добуток двох змішаних дробів, потрібно використовувати правило множення дробів:

• перевести числа в змішаному вигляді в неправильні дробі;
• знайти твір чіслітелей;
• знайти твір знаменателей;
• записати отриманий результат;
• максимально спростити вираз.

Приклад. Знайти твір 4frac12- і 6²/_5.

Множення числа на дріб (дробу на число)

Крім знаходження добутку двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити натуральне число на дріб.

Отже, щоб знайти твір десяткового дробу і натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри виявилися одна над інший;
• знайти твір, незважаючи на запятую;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши праворуч то кількість знаків, яке знаходиться після коми в дробу.

Щоб помножити звичайну дріб на число, слід знайти твір чисельника і натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротні дріб, її слід перетворити.

Приклад. Обчислити добуток ⁵/₈ і 12.

Рішення. ⁵/₈ * 12 = ^{(5 * 12)}/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

Відповідь: 7¹/_2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити вийшов результат і перетворити неправильне дробове вираження в змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження твори числа в змішаному вигляді і натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це ж значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити вийшов результат.

Приклад. Знайти твір 9⁵/₆ і 9.

Рішення. 9⁵/₆ х 9 = 9 х 9 + ^{(5 х 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

Відповідь: 88¹/_2.

Множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1- 0,01 0,001

З попереднього пункту випливає наступне правило. Для множення дробу десяткової на 10, 100, 1000, 10000 і т. Д. Потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

Приклад 1. Знайти твір 0,065 і 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Відповідь: 65.

Приклад 2. Знайти твір 3,9 і 1000.

Рішення. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне число і 0,1- 0,01 0,001 0,0001 і т. Д., Слід пересунути вліво кому в отриманому творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо необхідно, перед натуральним числом записуються нулі в достатній кількості.

Приклад 1. Знайти твір 56 і 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Приклад 2. Знайти твір 4 і 0,001.

Рішення. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твори різних дробів не повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результата- в такому випадку без калькулятора просто не обійтися.