Періодична функція: загальні поняття

Часто при вивченні явищ природи, хімічних і фізичних властивостей різних речовин, а також при вирішенні складних технічних завдань доводиться стикатися з процесами, характерною рисою яких є періодичність, тобто тенденція до повторення через деякий проміжок часу. Для опису та графічного зображення такої циклічності в науці існує функція особливого виду - періодична функція.

Найпростіший і всім зрозумілий приклад - звернення нашої планети навколо Сонця, при якому весь час змінюється між ними відстань підпорядковується річним циклам. Точно так же повертається на своє місце, зробивши повний оборот, лопать турбіни. Всі подібні процеси можна описати такої математичної величиною, як періодична функція. За великим рахунком, весь наш світ має циклічний характер. А значить, і періодична функція займає важливе місце в системі людських координат.

Потреба математичної науки в теорії чисел, топології, диференціальних рівняннях і точних геометричних обчисленнях призвела до появи в дев`ятнадцятому столітті нової категорії функцій з незвичайними властивостями. Ними стали періодичні функції, що приймають тотожні значення в певних точках в результаті складних перетворень. Зараз вони застосовуються в багатьох розділах математики та інших наук. Наприклад, при вивченні різних коливальних ефектів в хвильової фізики.

У різних математичних підручниках даються різні визначення періодичної функції. Однак незалежно від цих розбіжностей у формулюваннях, всі вони еквівалентні, так як описують вони й ті ж властивості функції. Найбільш простим і зрозумілим може бути наступне визначення. Функції, числові показники яких не піддаються змінам, якщо додати до їх аргументу деяке число, відмінне від нуля, так званий період функції, що позначається літерою Т, називаються періодичними. Що все це означає на практиці?

Наприклад, проста функція виду: y = f (x) стане періодичної в тому випадку, якщо Х має певне значення періоду (Т). З даного визначення випливає, що якщо числове значення функції, що має період (Т), визначено в одній з точок (х), то її значення також стає відомим в точках х + Т, х - Т. Важливим моментом тут є те, що при Т рівному нулю функція перетворюється в тотожність. Періодична функція може володіти нескінченним числом різних періодів. В основній масі випадків серед позитивних значень Т існує період з найменшим числовим показником. Його називають основним періодом. А всі інші значення Т завжди йому кратні. Це ще одне цікаве і дуже важливе для різних галузей науки властивість.

Графік періодичної функції володіє теж кількома особливостями. Наприклад, якщо Т є основним періодом вирази: y = f (x), то при побудові графіка даної функції достатньо всього лише побудувати гілку на одному з проміжків довжини періоду, а потім перенести її по осі х на наступні значення: ± Т, ± 2Т , ± 3Т і так далі. На закінчення слід зазначити, що не у всякої періодичної функції є основний період. Класичним прикладом цього служить функція німецького математика Дирихле такого вигляду: y = d (x).