Теорія чисел: теорія і практика

Існує кілька визначень поняття «теорія чисел». Одне з них свідчить, що це спеціальний розділ математики (або вищої арифметики), яка детально вивчає цілі числа і об`єкти, подібні з ними.

Інше визначення уточнює, що цей розділ математики вивчає властивості чисел і їх поведінку в різних ситуаціях.

Деякі вчені вважають, що теорія настільки велика, що дати її точне визначення неможливо, а достатньо лише розділити на кілька менш об`ємних теорій.

Встановити достовірно, коли зародилася теорія чисел, не представляється можливим. Однак точно встановлено: на сьогодні найдавнішим, але не єдиним документом, що свідчить про інтерес древніх до теорії чисел, є невеликий уламок глиняної таблички 1800 років до нашої ери. У ньому - цілий ряд так званих Піфагорові трійок (натуральних чисел), багато з яких складаються з п`яти знаків. Величезна кількість таких трійок виключає їх механічний підбір. Це свідчить про те, що інтерес до теорії чисел виник, мабуть, набагато раніше, ніж спочатку припускали вчені.

Найпомітнішими особами в розробці теорії вважаються піфагорійці Евклід і Діофант, що жили в Середні століття індійці Аріабхата, Брахмагупта і Бхаскар, а ще пізніше - Ферма, Ейлер, Лагранж.

На початку ХХ століття теорія чисел привернула увагу таких математичних геніїв, як А. Н. Коркін, Є. І. Золотарьов, А. А. Марков, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддєєв, І. М. Виноградов, Г .Вейль, А. Сельберг.

Розробляючи і поглиблюючи викладки і дослідження стародавніх математиків, вони вивели теорію на новий, значно вищий рівень, що охоплює безліч областей. Глибокі дослідження і пошуки нових доказів привели і до відкриття нових проблем, деякі з яких не вивчені досі. Відкритими залишаються: гіпотеза АРТИН про нескінченність безлічі простих чисел, питання про нескінченність кількості простих чисел, безліч інших теорій.

На сьогодні основними складовими, на які ділиться теорія чисел, є теорії: елементарна, великих чисел, випадкових чисел, аналітична, алгебраїчна.

Елементарна теорія чисел займається вивченням цілих чисел, не привертаючи методи і поняття з інших розділів математики. Числа Фібоначчі, мала теорема Ферма, - ось найпоширеніші, відомі навіть школярам поняття з цієї теорії.

Теорія великих чисел (або Закон великих чисел) - підрозділ теорії ймовірностей, який прагне довести, що середнє арифметичне (інакше - середнє емпіричне) великої вибірки наближається до математичного сподівання (яке ще називають теоретичним середнім) цієї вибірки за умови фіксованого розподілу.

Теорія випадкових чисел, розділяючи всі події на невизначені, детерміновані і випадкові, намагається визначити по ймовірності простих подій ймовірність складних. У цей розділ входять властивості умовних ймовірностей і теорема їх множення, Теорема гіпотез (яку часто називають формулою Байєса) та ін.

Аналітична теорія чисел, як це зрозуміло з її назви, для вивчення математичних величин і числових властивостей застосовує методи і прийоми математичного аналізу. Одне з головних напрямків цієї теорії - доказ теореми (за допомогою комплексного аналізу) про розподіл простих чисел.

Алгебраїчна теорія чисел працює безпосередньо з числами, їх аналогами (наприклад, алгебраїчними числами), вивчає теорію дівізоров, когомологий груп, функції Дирихле і т.п.

До появи і розвитку цієї теорії привели багатовікові спроби довести теорему Ферма.

До ХХ століття теорія чисел вважалася абстрактній наукою, "чистим мистецтвом від математики", які не мають абсолютно ніякого практичного або утилітарного застосування. Сьогодні її викладення використовують в криптографічних протоколах, при розрахунку траєкторій супутників і космічних зондів, в програмуванні. Економіка, фінанси, інформатика, геологія - всі ці науки сьогодні неможливі без теорії чисел.