Дослідження функції для початківців

Функцією з деякою областю позначення називається відповідність, при якому кожному числу x з певної множини ставиться у відповідність деякий повністю певне число y.

Зазвичай функції позначають латинськими буквами. Розглянемо будь-який приклад f. Число y, яке відповідає числу x, називають значенням даної f в конкретній точці x. Представляють так: f (x). Область визначення функції f - це D (f). Область, яка складається з усіх значень функції f (x), де аргумент x належить області визначення, називають областю значень f. Її записують так: E (f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формул. При цьому, якщо не визначені додаткові обмеження, областю позначення функції, яка задана формулою, вважатиметься безліч всіх значень змінної, і така формула має місце бути.

Об`єднанням двох множин називається така безліч, кожен елемент якого може належати і належить хоча б одному з даних множин.

Для позначення чисел з області позначення функції x вибирають деяку букву, яка називається незалежною змінною або ж аргументом.

Часто розглядаються такі області, в яких область значень і область позначень не є числовими множинами.

Коли проводиться дослідження функції, приклади можна розглядати за допомогою графіка. Графіком функції називають безліч точок на координатній площині, де аргумент "пробігає" всю область позначення. Для того щоб підмножина координатної площини було графіком деякої функції, необхідно, щоб таке підмножина мало хоча б одну спільну точку з будь-якої прямої, яка паралельна осі абсцис.

Функцію називають зростаючою на множині, якщо вищому значенню аргументу з такої безлічі відповідає вища значення функції, а низхідній на безлічі - якщо вищому значенню аргументу відповідає нижче значення функції.

У процесі дослідження функції на наростання і на сходження потрібно позначити проміжки зростання і спаду максимальної довжини.

Функція називається парною, якщо для будь-якого аргументу з його областю позначення буде f (-x) = f (x), або ж непарної - якщо для будь-якого аргументу з областю позначення буде f (-x) = - f (x). До того ж, графік парної функції буде симетричним щодо осі ординат, а графік непарної - симетричним відносно точки (0-0).

Для того щоб уникнути помилок, коли проводиться дослідження функції, необхідно навчитися знаходити характерні особливості. Для цього потрібно виконати такі кроки:

1. Знайти область позначення.

2. Провести перевірку на парність або ж непарність, а так само періодичність.

3. Необхідно знайти точки перехрещення графіка функції з ординатою і абсцисою.

4. На цьому етапі потрібно знайти проміжки, де функція має позитивні значення, а де - негативні. Такі проміжки називають проміжками з постійними знаками. Тобто, потрібно встановити, де лежить графік - вище або ж нижче осі абсцис.

5. Істотно полегшать завдання побудови графіка відомості про те, на яких проміжках функція зростає, а на яких падає. Такі проміжки називають проміжками зростання і проміжками сходження.

6. Тепер потрібно знайти ті значення функції в точках, де зростання змінюється сходженням, або ж навпаки.

Таке дослідження функції дає можливість побудувати графік. Крім того, необхідно знайти точки екстремуму. Що це таке?

Точка буде точкою мінімуму, якщо для всіх значень аргументу з деякого діапазону точки справедливим буде нерівність f (x)> f (x0).

Точка є точкою максимуму, якщо для всіх значень аргументу з деякого діапазону точки справедливим буде нерівність f (x)