Диференціальні рівняння - загальна інформація та сфера застосування
Вивчаючи явища природи, вирішуючи всілякі завдання з економіки, біології, фізики, техніці, не завжди є можливість безпосередньо встановити прямий зв`язок між якимись значеннями, які описують той чи інший еволюційний процес. Як правило, можна визначити зв`язок між цими величинами (функціями) і швидкістю їх зміни по відношенню до інших (незалежним) змінним. При цьому виникають 
рівняння, в яких невідомі функції стоять під знаком похідної - це диференціальні рівняння. На їхнє дослідження витратили чимало часу безліч відомих учених: Ньютон, Бернуллі, Лаплас та інші. Застосування диференціальних рівнянь досить широко: в моделях економічної динаміки, де відображаються не тільки залежність змінних в часі, але і їх взаємозв`язок з часом, в задачах мікро- і макроекономікі- з їх допомогою описують поширення електромагнітних і теплових хвиль і різні еволюційні явища, які відбуваються в живій і неживій природі.
За допомогою електромагнітних хвиль передається інформація на відстані (телебачення, телефон, радіо тощо). Сучасна макроекономіка широко використовує диференціальні і різницеві рівняння. Наприклад, в макроекономіці використовується так зване основне ДУ неокласичної теорії економічного росту. Диференціальні рівняння також застосовуються в біології, хімії, автоматиці та інших спеціальних дисциплінах. На малюнку показаний графік функції, яка застосовується при розгляді підвищення зростання населення. Цю задачу вирішують за допомогою дистанційного керування.
Отже, тепер побільше теорії. Звичайним диференціальним рівнянням називають нетотожні співвідношення між шуканої функцією Y з одним незалежним аргументом Х, самої незалежної змінної Х і похідними шуканої функції деякого порядку. Існує безліч видів диференціальних рівнянь, докладніше про які далі в статті.
Диференціальні рівняння бувають:
1) Звичайні рівняння І-го порядку, які інтегруються в квадратах. Ці, в свою чергу, поділяються на: диференціальні рівняння з відокремлюваними переменнимі- ДУ з відокремленими переменнимі- однорідні Ду- лінійні Ду- рівняння в повних диференціалах.
2) ДУ вищих порядків.
3) Лінійні ДУ ІІ-го порядку, які бувають лінійними однорідними ДУ ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтами і лінійними неоднорідними ДУ з постійними коефіцієнтами.
Вирішуються ДУ також декількома способами, найбільш поширені з яких - задача Коші, методи Ейлера і Бернуллі та інші.
У багатьох завданнях економіки, математики, техніки необхідно вирахувати деяку кількість функцій, пов`язаних між собою деякою кількістю ДУ. Тоді нам на допомогу приходять системи диференціальних рівнянь: сукупність рівнянь, в кожне з яких входять незалежна змінна, функції цієї незалежної та їх похідні.
Якщо система лінійна відносно невідомих функцій, то вона називається лінійною системою диференціальних рівнянь. Нормальну систему диференціальних рівнянь можна замінити одним ДУ, порядок якого дорівнює кількості рівнянь системи.
Перетворення системи ДУ до одного рівняння в деяких випадках відбувається за допомогою методу виключення.
Крім усього перерахованого вище, існують і лінійні системи з постійними коефіцієнтами, які легко вирішуються за методом Ейлера.
Парність функції Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона у багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного…
Визначення, графік і властивості функції: структура курсу математичного аналізу в школі Вперше з поняттям функції учні освітніх шкіл зазвичай зустрічаються в 7 класі, коли приступають до вивчення курсу алгебри як окремого напрямку математики. Починається вивчення функцій, як правило, без введення складних визначень і термінів, що…
Лінійні рівняння з однією і двома змінними, лінійні нерівності Цю тему будь-який школяр починає вивчати ще в початкових класах, коли проходить знаки «більше», «менше» і «дорівнює». Даний вид нерівностей і рівнянь є одним з найпростіших у всій навчальній програмі за весь період навчання школяра і студента.…
Біквадратне рівняння, рішення біквадратних рівнянь Усім ще зі школи відомо таке поняття, як рівняння. Рівняння - це рівність, що містить одну або кілька змінних. Знаючи те, що одна з частин даного рівності дорівнює інший, можна виокремлювати окремі частини рівняння, переносячи ті чи інші його…
Правила Кірхгофа Відомий німецький фізик Густав Роберт Кірхгоф (1824 - 1887), випускник Кенігсберзького університету, будучи завідувачем кафедри математичної фізики в Берлінському університеті, на основі експериментальних даних і законів Ома отримав ряд правил, які…
Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАР) Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього методу в тому, що, як видно з назви, поступово висловлюючи з…
Хімічне рівняння реакції - умовний запис хімічної реакції Для спрощення запису хімічних процесів і кращого їх сприйняття використовується рівняння реакції. Воно являє собою умовну запис взаємодії речовин між собою і, як наслідок, утворення нових продуктів. При такому схематичному «зображенні», для…
Вирішуємо квадратні рівняння і будуємо графіки Квадратні рівняння є равенствами другого рівня з однією змінною. Вони відображають поведінку параболи на координатної площині. Шукані корені відображають точки, в яких графік перетинає вісь ОХ. За коефіцієнтами можна попередньо дізнатися певні…
Корінь рівняння - ознайомча інформація В алгебрі існує поняття двох видів рівностей - тотожності і рівняння. Тотожності - це такі рівності, які здійснимі при будь-яких значеннях букв, в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійснимі вони лише при деяких значеннях вхідних у них…
Як знайти вершину параболи і побудувати її У математиці є цілий цикл тотожностей, серед яких вагоме місце займають квадратичні рівняння. Подібні рівності можуть вирішуватися як окремо, так і для побудови графіків на осі координат. Коріння квадратних рівнянь є точками перетину параболи і…
Як вирішувати систему рівнянь лінійного типу Для повного розуміння того, як вирішувати систему рівнянь, слід розглянути, що ж вона являє собою. Як зрозуміло з самого терміна, «система» - це сукупність кількох рівнянь, пов'язаних між собою. Існують системи алгебраїчних і диференціальних…
Метод кінцевих елементів - універсальний спосіб вирішення диференціальних рівнянь У сучасній науці існує безліч підходів для побудови кількісної математичної моделі будь-якої системи. І одним з них прийнято вважати метод кінцевих елементів, в основі якого лежить встановлення поведінки диференційного (нескінченно малого) її…
Корені квадратного рівняння: алгебраїчний і геометричний зміст В алгебрі квадратним називається рівняння другого порядку. Під рівнянням увазі математичне вираження, що має в своєму складі одну або декілька невідомих. Рівняння другого порядку - це математичне рівняння, що має хоча б одну невідому в ступені…