Безперервна функція

Безперервна функція являє собою функцію без «стрибків», тобто таку, для якої виконується умова: малих змін аргументу слідують малі зміни відповідних значень функції. Графік подібної функції представляє з себе плавну або безперервну криву.

Безперервність в точці, граничної для деякого безлічі, можна визначити за допомогою поняття межі, а саме: функція повинна мати в цій точці межа, що дорівнює її значенню в граничної точці.

При порушенні цих умов в деякій точці, кажуть, що функція в даній точці терпить розрив, тобто її безперервність порушується. Мовою меж точку розриву можна описати як розбіжність значення функції в розривної точці з межею функції (якщо він існує).

Точка розриву може бути усуненою, для цього необхідне існування границі функції, але неспівпадаючого з його значенням в заданій точці. У цьому випадку її в цій точці можна «поправити», тобто доопределить до безперервності.
Зовсім інша картина складається, якщо границі функції в заданій точці не існує. Можливо два варіанти точок розриву:

• першого роду - є і кінцеві обидва з односторонніх меж, і значення одного з них або обох не збігаються зі значенням функції в заданій точке;
• другого роду, коли не існує один або обидва з односторонніх меж або їх значення нескінченні.

Властивості неперервних функцій

• Функція, отримана в результат арифметичних дій, а також суперпозиції неперервних функцій на їх області визначення також є безперервною.
• Якщо дана безперервна функція, яка позитивна в деякій точці, то завжди можна знайти досить малу її околиця, на якій вона збереже свій знак.
• Аналогічно, якщо її значення в двох точках A і B рівні, відповідно, a і b, причому a відмінно від b, то для проміжних точок вона прийме всі значення з проміжку (a - b). Звідси можна зробити цікавий висновок: якщо дати розтягнутій гумці стиснутися так, щоб вона не провисала (залишалася прямолінійною), то одна з її точок залишиться нерухомою. А геометрично це означає, що існує пряма, через будь-яку проміжну крапку між A і B, яка перетинає графік функції.

Відзначимо деякі з безперервних (на області їх визначення) елементарних функцій:

• постійна;
• раціональная;
• тригонометрические.

Між двома фундаментальними поняттями в математиці - безперервністю і дифференцируемого - існує нерозривний зв`язок. Достатньо тільки згадати, що для дифференцируемости функції необхідно, щоб це була безперервна функція.

Якщо ж функція в деякій точці дифференцируема, то там вона неперервна. Проте зовсім не обов`язково, щоб і її похідна була безперервною.

Функція, що має на деякій множині безперервну похідну, належить окремого класу гладких функцій. Інакше кажучи, це - безперервно диференціюється функція. Якщо ж похідна має обмежену кількість точок розриву (тільки першого роду), то подібну функцію називають кусочно гладкою.

Ще одним важливим поняттям математичного аналізу є рівномірна безперервність функції, тобто її здатність бути в будь-якій точці своєї області визначення однаково безперервною. Таким чином, це властивість, яка розглядається на множині точок, а не в якійсь окремо взятій.

Якщо ж зафіксувати точку, то вийде не що інше, як визначення безперервності, тобто з наявності рівномірної неперервності випливає, що перед нами безперервна функція. Взагалі кажучи, зворотне твердження невірно. Однак згідно теоремі Кантора, якщо функція неперервна на компакті, тобто на замкнутому проміжку, то вона на ньому рівномірно неперервна.