Теоретичні основи електротехніки: метод вузлових напруг

Метод вузлових напруг - це розрахунок електричних ланцюгів, в яких змінними є значення напруг у вузлах ланцюгів щодо базисного вузла. Рівняння складаються на базі першого закону Кірхгофа, що дозволяє скоротити число рівнянь системи до значення k-1, де k - число вузлів ланцюга. Цей метод краще використовувати, коли число гілок електричного кола більше двох. Метод вузлових напруг знайшов застосування в комп`ютерних програмах моделювання електричних ланцюгів, за рахунок простоти алгоритму формування рівнянь вузлів.

Вузловими напругами називаються напруги між довільним опорним вузлом (в ньому потенціал приймається рівним нулю) і кожним з вузлів. На схемах опорний вузол відображають заземленим.

Розглянемо різні методи розрахунку електричних ланцюгів

Сутність цього методу, полягає у вирішенні системи рівнянь, за допомогою яких визначаються потенціали кожного вузла схеми по відношенню з опорним вузлом. Після цього проводиться розрахунок ланцюгів за допомогою закону Ома, тобто визначаються значення струмів усіх гілок.

Розрахунок складних ланцюгів проводиться в такій послідовності:

1. Складається принципова схема, з усіма елементами.

2. Призначається довільний опорний вузол. Причому рекомендується вибирати такий вузол, у якому сходиться найбільшу кількість гілок.

3. Здається довільне напрямок струмів у всіх гілках, що і позначається на схемі.

4. Для розрахунку потенціалів залишилися вузлів по відношенню до вибраного опорного вузла складається система рівнянь.

Рівності такої системи будуть мати наступний вигляд:

U1G11 - U2G12 - ... - UsG1s - UnG1n = sum-1EG + sum-1J

-U1G21 + U2G22 - ... - UsG2s - UnG2n = sum-2EG + sum-2J

........................................................................................

U1Gn1 - U2Gn2 - ... - UsGns + UnGnn = sum-nEG + sum-nJ, де:

• G - сума провідності гілок підключених до узлу;
• U - значення вузлових напряженій;
• sum-EG - алгебраїчна сума значень творів ЕРС гілок, які примикають до вузла, на їх провідності. (У тому випадку, коли ЕРС діє в напрямку вузла, тоді твору присвоюється знак «+», в зворотному випадку - «-».)

Описана вище система рівнянь дозволяє легко розраховувати шукані значення вузлових напруг. Вона має назву - система вузлових рівнянь. У тому випадку, коли складна електричний ланцюг складається з n-го кількості вузлів, необхідно скласти вузлові рівняння на один менше, ніж чисельність вузлів. Враховуючи те, що всі рівняння записані на базі першого закону Кірхгофа, то розраховується ланцюг повинна містити виключно незалежні джерела електричного струму. У тому випадку, коли схема містить джерела напруги, їх необхідно замінювати на еквівалентні джерела струму. Крім того, вузлові рівняння можливо записати в матричній формі.

5. Система рівнянь вирішується відносно вузлових напруг, визначаючи їх значення.

6. Після цього для кожної гілки окремо за законом Ома обчислюються всі значення електричного струму в ланцюзі.

I = (Ua - Ub + sum-Eab) / sum-Rab, де:

• I - значення струму гілки ланцюги;
• Ua - потенціал вузла а;
• Ub - потенціал вузла b;
• sum-Eab - алгебраїчна сума даної ветві;
• sum-Rab - арифметична сума опорів даної гілки.

Метод вузлових напруг для схем, що складаються з двох вузлів

При розрахунку електричних ланцюгів, які містять всього два вузли, система рівнянь складатиметься з одного рівняння, з якого можливо безпосередньо обчислити значення вузлового напруги:

U = (sum-nEnGn + sum-nJn) / sum-mGm, де:

• sum-nEnGn - алгебраїчна сума значень творів ЕРС гілок на провідності цих ветвей;
• sum-nJn - алгебраїчна сума значень джерел струму;
• sum-mGm - арифметична сума провідностей всіх гілок між вузлами.

Метод вузлових напруг має наступні математичні переваги: зручність обчислень і значне скорочення кількості арифметичних операцій.