Метод кінцевих елементів - універсальний спосіб вирішення диференціальних рівнянь
У сучасній науці існує безліч підходів для побудови кількісної математичної моделі будь-якої системи. І одним з них прийнято вважати метод кінцевих елементів, в основі якого лежить встановлення поведінки диференційного (нескінченно малого) її елемента, базуючись на передбачуваному співвідношенні між основними елементами, які здатні дати повну характеристику цій системі. Таким чином, дана методика використовує при описі системи диференціальні рівняння.
Теоретичні аспекти
Теоретичні методи очолює метод кінцевих різниць, який є родоначальником даної серії інструментів обчислення і досить широко використовується. У методах скінченних різниць особливу привабливість становить їх застосування до будь-яких диференціальних рівнянь. Однак через громіздкість і важкою програмованість обліку граничних умов в задачі існують деякі обмеження в застосуванні даних методик. Точність рішення залежить від рівня сітки, якою визначаються вузлові точки. Тому при вирішенні задач такого типу часто доводиться розглядати системи алгебраїчних рівнянь вищого порядку.
Метод кінцевих елементів - підхід, який досяг дуже високого рівня точності. І сьогодні багато вчених відзначають, що на сучасному етапі відсутня аналогічний метод, здатний дати такі ж результати. Метод кінцевих елементів має широкий діапазон застосовності, його ефективність і легкість, з якою враховуються фактичні граничні умови, дозволяють стати серйозним суперником для будь-якого іншого методу. Однак, крім зазначених переваг, йому характерні і деякі недоліки. Наприклад, він представлений схемою дискретизації, що неминуче тягне за собою використання великої кількості елементів. Особливо якщо мова йде про тривимірних задачах, які мають віддалені кордону, і в межах кожної з них по всіх невідомим змінним простежується безперервність.
Альтернативний підхід
В якості альтернативи деякими вченими пропонується використання аналітичного інтегрування системи диференціальних рівнянь іншим способом або шляхом введення деякої апроксимації. У будь-якому випадку, який би метод не застосовувався, в першу чергу має бути проінтегрувати диференціальне рівняння. В якості першого етапу рішення задачі необхідно перетворити диференціальні рівняння в систему інтегральних аналогів. Зазначена операція дозволяє отримати систему рівнянь, що має значення в межах конкретної області.
Ще одним альтернативним підходом є метод граничних елементів, розвиток яких побудовано на ідеї інтегральних рівнянь. Зазначений метод широко застосовується без доказів єдиності в кожному окремому рішенні, завдяки чому він стає дуже популярним і реалізується з використанням комп`ютерних технологій.
Область застосування
Метод кінцевих елементів досить успішно використовується в поєднанні з іншими чисельними методами в змішаному формулюванні. Таке комбінування дозволяє розширити область його застосування.
Лінійні рівняння з однією і двома змінними, лінійні нерівності Цю тему будь-який школяр починає вивчати ще в початкових класах, коли проходить знаки «більше», «менше» і «дорівнює». Даний вид нерівностей і рівнянь є одним з найпростіших у всій навчальній програмі за весь період навчання школяра і студента.…
Біквадратне рівняння, рішення біквадратних рівнянь Усім ще зі школи відомо таке поняття, як рівняння. Рівняння - це рівність, що містить одну або кілька змінних. Знаючи те, що одна з частин даного рівності дорівнює інший, можна виокремлювати окремі частини рівняння, переносячи ті чи інші його…
Математична модель: етапи проектування З середини минулого століття в різні області діяльності людини почали входити ЕОМ і математичні методи. Стали з'являтися нові дисципліни такі, як математична економіка, математична лінгвістика, математична хімія та інші, предметом вивчення яких були…
Математична матриця. Множення матриць Ще математики стародавнього Китаю використовували у своїх обчисленнях запис у вигляді таблиць з певною кількістю рядків і стовпців. Тоді подібні математичні об'єкти іменувалися як «чарівні квадрати». Хоча відомі й випадки використання таблиць в…
Метод Гаусса: приклади рішень і окремі випадки Метод Гаусса, також званий методом покрокового виключення невідомих змінних, названий ім'ям видатного німецького вченого К.Ф. Гаусса, ще за життя отримав неофіційний титул "короля математики". Однак даний метод був відомий задовго до зародження…
Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАР) Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього методу в тому, що, як видно з назви, поступово висловлюючи з…
Диференціальні рівняння - загальна інформація та сфера застосування Вивчаючи явища природи, вирішуючи всілякі завдання з економіки, біології, фізики, техніці, не завжди є можливість безпосередньо встановити прямий зв'язок між якимись значеннями, які описують той чи інший еволюційний процес. Як правило, можна…
Вирішуємо квадратні рівняння і будуємо графіки Квадратні рівняння є равенствами другого рівня з однією змінною. Вони відображають поведінку параболи на координатної площині. Шукані корені відображають точки, в яких графік перетинає вісь ОХ. За коефіцієнтами можна попередньо дізнатися певні…
Корінь рівняння - ознайомча інформація В алгебрі існує поняття двох видів рівностей - тотожності і рівняння. Тотожності - це такі рівності, які здійснимі при будь-яких значеннях букв, в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійснимі вони лише при деяких значеннях вхідних у них…
Як вирішувати систему рівнянь лінійного типу Для повного розуміння того, як вирішувати систему рівнянь, слід розглянути, що ж вона являє собою. Як зрозуміло з самого терміна, «система» - це сукупність кількох рівнянь, пов'язаних між собою. Існують системи алгебраїчних і диференціальних…
Метод інтерполяції: основні види та обчислювальні алгоритми Значна кількість математичних задач пов'язане із знаходженням розподіленої нерівномірно в просторі інформації. Мова йде про інформаційні системи географічної спрямованості, так як саме в них існує можливість виміряти необхідні величини в певних…
Математичні методи в економіці Математичні методи в економіці є важливим інструментом проведення аналізу. Їх використовують у побудові теоретичних моделей, які дозволяють відобразити наявні зв'язки в повсякденному житті. Також за допомогою даних методів досить точно прогнозується…
Лінійне програмування Лінійне програмування являє собою один з найбільш значущих розділів математики, де здійснюється вивчення теоретичних і методичних основ вирішення певних завдань. Дана математична дисципліна широко використовується в останні роки в різноманітних…