Вирішуємо квадратні рівняння і будуємо графіки
Квадратні рівняння є равенствами другого рівня з однією змінною. Вони відображають поведінку параболи на координатної площині. Шукані корені відображають точки, в яких графік перетинає вісь ОХ. За коефіцієнтами можна попередньо дізнатися певні якості параболи. Наприклад, якщо значення числа, що стоїть перед х2, негативне, то гілки параболи будуть дивитися вгору. Крім цього, існує декілька хитрощів, за допомогою яких можна суттєво спростити рішення заданого рівняння.
Види квадратних рівнянь
У школі викладають кілька видів квадратних рівнянь. Залежно від цього розрізняють і способи їх рішень. Серед особливих типів можна виділити квадратні рівняння з параметром. Такий тип містить кілька змінних:
ах2+12х-3 = 0
Наступною варіацією можна назвати рівняння, в якому змінна представлена не одним числом, а цілим виразом:
21 (х + 13)2-17 (х + 13) -12 = 0
Варто врахувати, що це все є загальним видом квадратних рівнянь. Буває, вони подаються в такому форматі, при якому їх необхідно спочатку привести в порядок, розкласти на множники або спростити.
4 (х + 26)2-(-43х + 27) (7-х) = 4х
Принцип рішення
Квадратні рівняння вирішуються наступним способом:
- При необхідності знаходиться область допустимих значень.
- Рівняння наводиться у відповідний вигляд.
- Знаходиться дискриминант за відповідною формулою: Д = b2-4ас.
- У відповідності зі значенням дискримінанта робляться висновки щодо функції. Якщо Д> 0, то говорять, що рівняння має два різних кореня (при Д).
- Після цього знаходять корені рівняння.
- Далі (залежно від завдання) будують графік або знаходять значення в певній точці.
Квадратні рівняння: теорема Вієта та інші хитрощі
Кожному школяреві хочеться блиснути на уроках своїми знаннями, кмітливістю й уміннями. Під час вивчення квадратних рівнянь це можна зробити декількома способами.
У тому випадку, коли коефіцієнт а = 1, можна говорити про застосування теореми Вієта, згідно з якою сума коренів дорівнює значенню числа b, що стоїть перед х (зі знаком, протилежним наявного), а твір х1 і х2 прирівнюється с. Такі рівняння називаються наведеними.
х2-20х + 91 = 0,
х1 *х2= 91 і х1+х2= 20, => х1= 13 і х2= 7
Ще одним способом приємного спрощення математичної роботи є використання властивостей параметрів. Так, якщо сума всіх параметрів дорівнює 0, то отримуємо, що х1= 1 і х2= С / а.
17х2-7х-10 = 0
17-7-10 = 0, отже, корінь 1: х1= 1, і корень2: х2= -10 / 12
Якщо ж сума коефіцієнтів а і з дорівнює b, то х1= -1 І, відповідно, х2= -с / А
25х2+49х + 24 = 0
25 + 24 = 49, отже, х1= -1 І х2= -24 / 25
Такий підхід до вирішення квадратних рівнянь істотно спрощує процес обчислення, а також економить величезну кількість часу. Всі дії можна здійснювати в розумі, не витрачаючи при цьому дорогоцінні хвилини контрольної або перевірочної роботи на множення в стовпчик або використання калькулятора.
Квадратні рівняння служать сполучною ланкою між цифрами і координатної площиною. Щоб швидко і просто побудувати параболу відповідної функції, необхідно після знаходження її вершини провести вертикальну лінію, перпендикулярну осі х. Після цього кожну отриману точку можна дзеркально відображати щодо даної лінії, яка називається вісь симетрії.
Лінійні рівняння з однією і двома змінними, лінійні нерівності Цю тему будь-який школяр починає вивчати ще в початкових класах, коли проходить знаки «більше», «менше» і «дорівнює». Даний вид нерівностей і рівнянь є одним з найпростіших у всій навчальній програмі за весь період навчання школяра і студента.…
Біквадратне рівняння, рішення біквадратних рівнянь Усім ще зі школи відомо таке поняття, як рівняння. Рівняння - це рівність, що містить одну або кілька змінних. Знаючи те, що одна з частин даного рівності дорівнює інший, можна виокремлювати окремі частини рівняння, переносячи ті чи інші його…
Правила Кірхгофа Відомий німецький фізик Густав Роберт Кірхгоф (1824 - 1887), випускник Кенігсберзького університету, будучи завідувачем кафедри математичної фізики в Берлінському університеті, на основі експериментальних даних і законів Ома отримав ряд правил, які…
Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАР) Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього методу в тому, що, як видно з назви, поступово висловлюючи з…
Диференціальні рівняння - загальна інформація та сфера застосування Вивчаючи явища природи, вирішуючи всілякі завдання з економіки, біології, фізики, техніці, не завжди є можливість безпосередньо встановити прямий зв'язок між якимись значеннями, які описують той чи інший еволюційний процес. Як правило, можна…
Хімічне рівняння реакції - умовний запис хімічної реакції Для спрощення запису хімічних процесів і кращого їх сприйняття використовується рівняння реакції. Воно являє собою умовну запис взаємодії речовин між собою і, як наслідок, утворення нових продуктів. При такому схематичному «зображенні», для…
Корінь рівняння - ознайомча інформація В алгебрі існує поняття двох видів рівностей - тотожності і рівняння. Тотожності - це такі рівності, які здійснимі при будь-яких значеннях букв, в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійснимі вони лише при деяких значеннях вхідних у них…
Як знайти вершину параболи і побудувати її У математиці є цілий цикл тотожностей, серед яких вагоме місце займають квадратичні рівняння. Подібні рівності можуть вирішуватися як окремо, так і для побудови графіків на осі координат. Коріння квадратних рівнянь є точками перетину параболи і…
Як вирішувати систему рівнянь лінійного типу Для повного розуміння того, як вирішувати систему рівнянь, слід розглянути, що ж вона являє собою. Як зрозуміло з самого терміна, «система» - це сукупність кількох рівнянь, пов'язаних між собою. Існують системи алгебраїчних і диференціальних…
Метод кінцевих елементів - універсальний спосіб вирішення диференціальних рівнянь У сучасній науці існує безліч підходів для побудови кількісної математичної моделі будь-якої системи. І одним з них прийнято вважати метод кінцевих елементів, в основі якого лежить встановлення поведінки диференційного (нескінченно малого) її…
Корені квадратного рівняння: алгебраїчний і геометричний зміст В алгебрі квадратним називається рівняння другого порядку. Під рівнянням увазі математичне вираження, що має в своєму складі одну або декілька невідомих. Рівняння другого порядку - це математичне рівняння, що має хоча б одну невідому в ступені…
Рівняння площини: як скласти? Види рівнянь площини У просторі площину можна задавати різними способами (однією точкою і вектором, двома точками і вектором, трьома крапками і ін.). Саме з урахуванням цього рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площині можуть бути…
Метод Зейделя-Гаусса. Інтернаціональний метод Метод Зейделя (друга назва - Гаусса-Зейделя) - це класичний інтернаціональний метод, за допомогою якого можна вирішувати різні системи лінійних рівнянь. Зараз ми розповімо про це більш детально.Суть роботиДаний спосіб є своєрідною спрощеної…