Метод дихотомії

Дихотомія в перекладі з грецької мови означає "послідовний розподіл надвоє" або "роздвоєність". Дихотомічне розподіл досить успішно використовується в математиці і логіці для класифікації елементів, а в філософії та лінгвістиці - для утворення підрозділів одного терміна, які одне одного.

Метод дихотомії необхідно відрізняти від звичайного поділу. Наприклад, слово "людина" може бути розділене на поняття "чоловіки" і "жінки", а може ділитися на "чоловіка" і "не чоловіки". Так от, у першому випадку два поняття не суперечать один одному, тому тут дихотомія відсутня. У другому випадку "чоловік" і "не чоловік" - два визначення, що суперечать один одному і не перетинаються, а це і є визначенням дихотомії.

Метод дихотомії привабливий свій простотою, так як тут завжди присутня тільки два класи, які вичерпуються об`ємом діленого поняття. Іншими словами, в дихотомічному розподілі завжди присутній співмірність. Наступним основним властивістю є виняток один одного членами поділу у зв`язку з тим, що кожне ділиме безліч може потрапити тільки в один з класів "b" або "не b", а поділ здійснюється тільки по одній підставі, пов`язаному з наявністю або відсутністю певної ознаки.

При всіх своїх перевагах метод дихотомії має і недолік, що полягає у невизначеності тій його частині, яка має частку "не". Наприклад, якщо всіх учених розділити на математиків і не математиків, то щодо другої групи присутня певна неясність. Крім цього недоліку, існує ще один, який полягає в скрутному встановленні поняття, що суперечить першому значенню, за ступенем віддалення від першої пари.

Як уже зазначалося вище, дихотомія часто використовується в якості допоміжного прийому при класифікації яких-небудь понять. Метод дихотомії активно використовується при знаходженні значень функцій, що визначаються за певним критерієм (наприклад, порівняння на максимум або мінімум).

Досить часто використовується неусвідомлено метод дихотомії, алгоритм якого може бути описаний буквально покроково. Наприклад, у грі «Вгадай число» один з гравців загадує число в діапазоні від 1 до 100, а інший робить спроби його відгадати на основі підказок "менше" або "більше" першого. Якщо міркувати логічно, в якості першого числа завжди називається 50, а в разі загаданого меншого - 25, більшого - 75. Тому на кожному етапі невизначеність загаданого числа зменшується вдвічі, і навіть невдачливий людина відгадає це невідоме приблизно за 7 спроб.

При використанні методу дихотомії у вирішенні різних рівнянь знаходження правильного рішення можливе лише тоді, коли достовірно відомо знаходження єдиного кореня на заданому інтервалі. Це зовсім не означає, що застосування даного методу можливо для знаходження коренів тільки лінійних рівнянь. При вирішенні рівнянь вищого порядку з використанням методу половинного ділення потрібно в першу чергу розділити коріння по відрізках. При цьому процес їх відділення здійснюється за допомогою знаходження першої та другої похідних від функції і прирівнювання отриманих рівнянь до нуля (f `(x) = 0, f` `(x) = 0). Наступним етапом є визначення значень f (x) в граничних і критичних точках. Результатом всіх проведених розрахунків є інтервал | a, b |, на якому у значення функції змінюється знак і де f (a) * f (b)< 0.

При розгляді графічного методу розв`язання рівняння з використанням дихотомії алгоритм вирішення досить простий. Наприклад, існує відрізок | a, b |, в межах якого знаходиться один корінь х.

Першим етапом є обчислення середнього алгебраїчного x = (a + b) / 2. далі розраховується значення функції в даній точці. Якщо f (x)< 0, то [a,x], в противном случае - [x,b]. Таким образом, осуществляется сужение интервала, в результате которого формируется определенная последовательность х. Расчет прекращается при достижении разности b-a меньшей погрешности.