Куб різниці і різниця кубів: правила застосування формул скороченого множення

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для більш швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі ж формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення декількох многочленів.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне вирішення різних математичних задач, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть в правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть в лівій частині після знака рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на пам`ять, так як вони нерідко використовуються при вирішенні задач і рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять в даний список, і їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданка, подвоєного твори першого доданка на друге і квадрата другого. У вигляді виразу дане правило записується таким чином: (а + с) sup2- = asup2- + 2ас + сsup2-.

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного твори першого числа на друге (узяте з протилежним знаком) і квадрата другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає таким чином: (а - с) sup2- = аsup2- - 2ас + сsup2-.

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених в квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різниця. У вигляді виразу дане правило виглядає таким чином: asup2- - сsup2- = (a + с) middot- (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданка, потроєного твори квадрата першого доданка і другого, потроєного твори першого доданка і другого в квадраті, а також куба другого доданка. У вигляді виразу дане правило виглядає таким чином: (а + с) sup3- = аsup3- + 3аsup2-с + 3асsup2- + сsup3-.

Сума кубів

Згідно з формулою, сума кубів прирівнюється до добутку суми даних доданків на їх неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає таким чином: аsup3- + сsup3- = (а + с) middot- (аsup2- - ас + сsup2-).

Приклад. Необхідно обчислити об`єм фігури, яка утворена складанням двох кубів. Відомі лише величини їх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, то виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються в громіздких числах, то в цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потроєного негативного твори квадрата першого члена на другий, потроєного твори першого члена на квадрат другого і негативного куба другого члена. У вигляді математичного виразу куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) sup3- = аsup3- - 3аsup2-с + 3асsup2- - сsup3-.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді математичного виразу різниця кубів виглядає наступним чином: а³ - з³ = (А - с) (а² + ас + з²).

Приклад. Необхідно обчислити об`єм фігури, яка залишиться після вирахування з обсягу синього куба об`ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина боку маленького і великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, то обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються в значних числах, то варто застосувати формулу, має назву "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), которае значно спростить обчислення.