Як знайти вершину параболи і побудувати її

У математиці є цілий цикл тотожностей, серед яких вагоме місце займають квадратичні рівняння. Подібні рівності можуть вирішуватися як окремо, так і для побудови графіків на осі координат. Коріння квадратних рівнянь є точками перетину параболи і прямої ох.

Загальний вигляд

Квадратне рівняння в загальному вигляді має наступну структуру:

ax² +bx + c = 0

У ролі "ікси" можуть розглядатися як окремі змінні, так і цілі вирази. Наприклад:

2x²+5x-4 = 0-

(X + 7)²+3 (x + 7) + 2 = 0.

У тому випадку, коли в ролі х виступає вираз, необхідно представити його як змінну і знайти корені рівняння. Після цього до них прирівняти многочлен і знайти х.

Так, якщо (х + 7) = а, то рівняння приймає вигляд а²+3а + 2 = 0.

Д = 3²-4 * 1 * 2 = 1-

а₁= (- 3-1) / 2 * 1 = -2-

а₂= (- 3 + 1) / 2 * 1 = -1.

При коренях, рівних -2 і -1, отримаємо наступне:

x + 7 = -2 і x + 7 = -1-

x = -9 і x = -8.

Коріння є значенням х-координати точки перетину параболи з віссю абсцис. В принципі, їх значення не так вже й важливо, якщо поставлено завдання лише знайти вершину параболи. Але для побудови графіка коріння відіграють важливу роль.

Як знайти вершину параболи

Повернемося до початкового рівняння. Для відповіді на питання про те, як знайти вершину параболи, необхідно знати наступну формулу:

x_вп= -b / 2a,

де х_вп- це значення х-координати шуканої точки.

Але як знайти вершину параболи без значення у-координати? Підставляємо отримане значення х у рівняння і знаходимо шукану змінну. Наприклад, вирішимо наступне рівняння:

х²+3х-5 = 0

Знаходимо значення х-координати для вершини параболи:

х_вп= -b / 2a = -3 / 2 * 1-

х_вп= -1,5.

Знаходимо значення у-координати для вершини параболи:

у = 2х²+4х-3 = (- 1,5)²+3 * (- 1,5) -5-

у = -7,25.

В результаті отримуємо, що вершина параболи знаходиться в точці з координатами (-1,5--7,25).

Побудова параболи

Парабола являє собою з`єднання точок, що має вертикальну вісь симетрії. З цієї причини сама її побудова не представляє особливої праці. Найскладніше - це призвести правильні розрахунки координат точок.

Варто звернути особливу увагу на коефіцієнти квадратного рівняння.

Коефіцієнт а впливає на напрямок параболи. У тому випадку, коли він має від`ємне значення, гілки будуть спрямовані вниз, а при позитивному знаку - вгору.

Коефіцієнт b показує, наскільки широкий буде рукав параболи. Чим більше його значення, тим він буде ширше.

Коефіцієнт з вказує на зсув параболи по осі ОУ щодо початку координат.

Як знайти вершину параболи, ми вже дізналися, а щоб знайти коріння, слід керуватися наступними формулами:

Д = b²-4ac,

де Д - це дискриминант, який необхідний для знаходження коренів рівняння.

x₁= (- B + V^-Д) / 2a

x₂= (- B-V^-Д) / 2a

Отримані значення х будуть відповідати нульових значень у, т.к. вони є точками перетину з віссю ОХ.

Після цього відзначаємо на координатної площини вершину параболи і отримані значення. Для більш детального графіка необхідно знайти ще кілька точок. Для цього вибираємо будь-яке значення х, допустиме областю визначення, і підставляємо його в рівняння функції. Результатом обчислень буде координата точки по осі ОУ.

Щоб спростити процес побудови графіка, можна провести вертикальну лінію через вершину параболи і перпендикулярно осі ОХ. Це буде вісь симетрії, за допомогою якої, маючи одну точку, можна позначити і другу, рівновіддалену від проведеної лінії.