Середньозважене значення - що це і як його обчислити?

У процесі вивчення математики школярі знайомляться з поняттям середнього арифметичного. Надалі в статистиці і деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших середніх значень. Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

Середні величини: сенс і відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Для того щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно підчас аналізувати величезну кількість цифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію загалом і в цілому.

Зі шкільних часів багато дорослих пам`ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто вирахувати - сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, то необхідно вирішити вираз (27 + 22 + 34 + 37) / 4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина буде дорівнює 30.

Часто в рамках шкільного курсу вивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значення базується на добуванні кореня n-ного ступеня з добутку n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень буде дорівнює 29,4.

Середнє гармонійне в загальноосвітній школі зазвичай не є предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернено середньому арифметичному і розраховується як частка від n - кількості значень і суми 1 / a₁+1 / a₂+...+1 / a_n. Якщо знову брати той же ряд чисел для розрахунку, то гармонійне складе 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Однак всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, у статистиці при розрахунку деяких середніх значень важливу роль має "вагу" кожного числа, використовуваного в обчисленнях. Результати є більш показовими і коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальну назву "середньозважене значення". Їх у школі не проходять, тому на них варто зупинитися детальніше.

Перш за все, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Два рази на день в лікарні відбувається вимір температури тіла у кожного пацієнта. З 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура - 36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення - 37,2, у 14 - 38, у 7 - 38,5, у 3 - 39, і у двох, що залишилися - 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина в загальному по лікарні складатиме більше 38 градусів! А адже майже у половини пацієнтів абсолютно нормальна температура. І тут коректніше буде використовувати середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вагу" може бути прийняте кількість відвантажень, число працюючих в той чи інший день людей, загалом, все що завгодно, що може бути виміряна і вплинути на кінцевий результат.

Різновиди

Середньозважене значення співвідноситься з середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Однак перша величина, як вже було сказано, враховує також вага кожного числа, використаного в розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне і гармонійне значення.

Є ще одна цікава різновид, використовувана в рядах чисел. Мова йде про зваженому ковзаючому середньому значенні. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень і їх ваги там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь момент часу також враховуються величини за попередні часові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не так вже й складний, однак на практиці зазвичай використовується тільки звичайне середньозважене значення.

Способи розрахунку

У століття повальної комп`ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак незайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити і при необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше буде розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці на цьому підприємстві з урахуванням кількості робітників, які отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення проводиться за допомогою такої формули:

x = (a₁* W₁+a₂* W₂+...+a_n* W_n) / (W₁+w₂+...+w_n)

Для прикладу ж обчислення буде таким:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів з тим, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула ж для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чісел- ряд ваг) / СУММ (ряд ваг).