Медіана в статистиці: поняття, властивості і розрахунок

Для того щоб мати уявлення про те чи інше явище, ми часто використовуємо середні величини. Їх застосовують для того, щоб порівнювати рівень зарплат в різних галузях економіки, температуру і рівень опадів на одній і тій же території за зіставні періоди часу, врожайність вирощуваних культур в різних географічних регіонах і т. Д. Втім, середня є аж ніяк не єдиним узагальнюючим показником - в ряді випадку для більш точної оцінки підходить така величина як медіана. У статистиці вона широко застосовується в якості допоміжної описової характеристики розподілу якого-небудь ознаки в окремо взятій сукупності. Давайте розберемося, чим вона відрізняється від середньої, а також чим викликана необхідність її використання.

Медіана в статистиці: визначення та властивості

Уявіть собі таку ситуацію: на фірмі разом з директором працюють 10 осіб. Прості працівники отримують по 1000 грн., А їх керівник, який, до того ж, є власником, - 10000 грн. Якщо обчислити середнє арифметичне, то вийде, що в середньому зарплата на даному підприємстві дорівнює 1900 грн. Чи буде справедливим дане твердження? Або візьмемо такий приклад, в одній і тій же лікарняній палаті знаходиться дев`ять осіб з температурою 36,6 ° С, і одна людина, у якого вона дорівнює 41 ° С. Арифметичне середнє в цьому випадку дорівнює: (36,6 * 9 + 41) / 10 = 37,04 ° С. Але це зовсім не означає, що кожен з присутніх хворий. Все це наштовхує на думку, що однією середньої часто буває недостатньо, і саме тому на додаток до неї використовується медіана. У статистиці цим показником називають варіант, який розташований рівно посередині упорядкованого варіаційного ряду. Якщо порахувати її для наших прикладів, то вийде відповідно 1000 грн. і 36,6 ° С. Іншими словами, медіаною в статистиці називається значення, яке ділить ряд навпіл таким чином, що по обидва боки від неї (вниз або вгору) розташоване однакове число одиниць даної сукупності. Через це властивості даний показник має ще кілька назв: 50-й перцентиль або квантиль 0,5.

Як знайти медіану в статистиці

Спосіб розрахунку даної величини в чому залежить від того, який тип варіаційного ряду ми маємо: дискретний або інтервальний. У першому випадку, медіана у статистиці знаходиться досить просто. Все, що потрібно зробити, це знайти суму частот, розділити її на 2 і потім додати до результату frac12-. Найкраще буде пояснити принцип розрахунку на наступному прикладі. Припустимо, у нас є згруповані дані по народжуваності, і потрібно з`ясувати, чому дорівнює медіана.

Провівши нехитрі підрахунки, отримаємо, що шуканий показник дорівнює: 195/2 + frac12- = 98, тобто 98-я варіанту. Для того щоб з`ясувати, що це означає, слід послідовно накопичувати частоти, починаючи з найменшою варіанти. Отже, сума перших двох рядків дає нам 30. Ясно, що тут 98 варіанти немає. Але якщо додати до результату частоту третьої варіанти (70), то вийде сума, рівна 100. У ній якраз і знаходиться 98-я варіанту, а значить медианой буде сім`я, у якої є двоє дітей. Що ж стосується інтервального ряду, то тут зазвичай використовують наступну формулу:

М_е = Х_Ме + i_Ме * (Sum-f / 2 - S_Me-1) / F_Ме, в якій:

• Х_Ме - перше значення медіанного інтервала;
• sum-f - чисельність ряду (сума його частот) ;
• i_Ме - величина медіанного діапазона;
• f_Ме - частота медіанного діапазона;
• S_Ме-1 - сума кумулятивних частот в діапазонах, що передують медианному.

Знову ж таки, без приклад тут розібратися досить складно. Припустимо, є дані по величині заробітної плати.

Щоб скористатися вищенаведеної формулою, спочатку нам потрібно визначити медіанний інтервал. В якості такого діапазону вибирають той, накопичена частота якого перевищує половину всієї суми частот або дорівнює їй. Отже, розділивши 510 на 2, отримуємо, що цьому критерію відповідає інтервал зі значенням зарплати від 250 000 руб. до 300000 руб. Тепер можна підставляти всі дані в формулу:

М_е = Х_Ме + i_Ме * (Sum-f / 2 - S_Ме-1) / F_Ме = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286,96 тис. Руб.

Сподіваємося, наша стаття виявилася корисною, і тепер ви маєте чітке уявлення про те, що таке медіана в статистиці і як її слід розраховувати.