Подвійний інтеграл. Завдання. Властивості

Завдання, які призводять до поняття «подвійний інтеграл».

1. Нехай в площині задана плоска матеріальна пластинка, в кожній точці якої відома щільність. Потрібно знайти масу цієї платівки. Так як дана пластинка має чіткі розміри, то вона може бути укладена в прямокутник. Щільність пластинки можна розуміти ще й так: в тих точках прямокутника, які не належать платівці, будемо вважати, що щільність дорівнює нулю. Задамо рівномірне розбиття на однакову кількість частинок. Таким чином, задана фігура буде розбита на елементарні прямокутники. Розглянемо один з таких прямокутників. Виберемо будь-яку точку даного прямокутника. В силу малості розмірів такого прямокутника будемо вважати, що щільність в кожній точці даного прямокутника є величиною постійною. Тоді маса такої прямокутної частинки, визначатиметься як множення щільності в цій точці на площу прямокутника. Площа, як відомо, це множення довжини прямокутника на ширину. А на координатної площині - це зміна з деяким кроком. Тоді маса всієї платівки складе суму мас таких прямокутників. Якщо в такому співвідношенні перейти до кордону, тоді можна отримати точне співвідношення.
2. Задамо просторове тіло, яке обмежене початком координат і деякою функцією. Потрібно знайти об`єм вказаного тіла. Як і в попередньому випадку, розіб`ємо область на прямокутники. Будемо вважати, що в точках, які не належать області, функція буде дорівнює 0. Розглянемо одне з прямокутних розбиті. Через сторони даного прямокутника проведемо площини, які перпендикулярні до осей абсцис і ординат. Отримаємо паралелепіпед, який знизу обмежений площиною щодо осі аплікат, а зверху тією функцією, яка була задана в умові завдання. Виберемо в середині прямокутника точку. В силу малості розмірів даного прямокутника можна вважати, що функція в рамках цього прямокутника має постійне значення, тоді і можна розрахувати обсяг прямокутника. А обсяг фігури дорівнюватиме сумам всіх обсягів таких прямокутників. Щоб отримати точне значення, необхідно перейти до кордону.

Як видно з поставлених завдань, в кожному прикладі приходимо до висновку, що різні завдання призводять до розгляду подвійних сум однакового виду.

Властивості подвійного інтеграла.

Поставимо задачу. Нехай в деякій замкнутій області задана функція двох змінних, при чому задана функція безперервна. Так як область обмежена, то можна помістити її в будь прямокутник, який повністю містить в собі властивості точки заданої області. Розіб`ємо прямокутник на рівні частини. Назвемо діаметром розбиття найбільшу діагональ з вийшов прямокутників. Виберемо тепер в межах одного такого прямокутника точку. Якщо знайти значення в цій точці скласти суму, тоді така сума буде називатися інтегральної для функції в заданій області. Знайдемо кордон такий інтегральної суми, за умов, що діаметр розбиття слід до 0, а кількість прямокутників - до нескінченності. Якщо така межа існує і не залежить від способу розбиття області на прямокутники і від вибору точки, тоді вона називається - подвійний інтеграл.

Геометричний зміст подвійного інтеграла: подвійний інтеграл числівників дорівнює обсягу тіла, яке було описано в задачі 2.

Знаючи подвійний інтеграл (визначення), можна встановити такі властивості:

1. Постійну можна виносити за знак інтеграла.
2. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
3. З функцій менше буде та, подвійний інтеграл якої менше.
4. Модуль можна вносити під знак подвійного інтеграла.