Як знайти площу трапеції?

Перед тим як знайти площу трапеції, необхідно дати її визначення.

Трапеція - геометрична фігура з чотирма кутами, у якої дві сторони паралельні один одному, а дві інші - ні. Дві сторони, що паралельні один одному, кличуть підставами, а непаралельні - бічними. Якщо сторони, які є боковими, рівні, трапеція буде називатися рівнобедреної. Якщо при перетині вони утворюють прямий кут, вона прямокутна.

В алгебрі є ще поняття криволінійної трапеції - під нею розуміють фігуру, обмежену з одного боку віссю х, а з іншого - графіком функції у = f (х) b і певну на відрізку [a- b]

Як знайти площу трапеції

Розраховується така геометрична фігура за формулою S = 0,5 * (а + в) * h, де а і в -длина підстав трапеції, а h - її висота.

Приклад. Дана трапеція, одна підстава якої дорівнює 2 см, друге - 3 см, а висота - 4 см. Розраховуємо площу за формулою, отримуємо результат: S = 0, 5 * (2 + 3) * 4 = 12 см2.

З цієї ж формули випливає, що, знаючи площа цієї фігури, її висоту, довжину однієї зі сторін, можна знайти довжину інший. Другий варіант - знаючи довжини сторін і площа трапеції, можна знайти її висоту.

Приклад. Дана трапеція, у якої одна підстава довший іншого в 3 рази. Висота фігури - 3 см, площа - 24см2. Потрібно знайти довжину обох підстав.

Рішення. Площа розраховується за такою формулою S = 0,5 * (а + в) * h. З умов завдання ясно, що одна сторона більше іншої в 3 рази, отже, а = 3в. Замінимо а у формулі і отримаємо S = 0,5 * (3в + в) * h = 0,5 * 4в * h. В результаті отримаємо S = 2в * h, тобто в = S / 2h. Підставляємо цифрові значення і отримуємо в = 6 см, а = 18 см.

Втім, це не єдиний спосіб, яким можна визначити площа цієї фігури. За другим методом, перед тим як знайти площу трапеції, можна розділити її на прості геометричні фігури: прямокутник і два трикутники (або один трикутник, якщо мова йде про прямокутної трапеції). У цьому випадку загальна площа буде обчислюватися як сума площ цих фігур. Як варіант - можна вписати її в прямокутник, бічна сторона якого буде дорівнювати довжині більшого з підстав. У цьому випадку площа трапеції визначиться як різниця площ прямокутника і трикутників.

Як знайти площу прямокутної трапеції? Раніше вже говорилося, що прямокутної трапецією можна назвати трапецію, у якої підстава (назвемо його а) і бічна сторона з перетинаються, утворюючи примою кут. Відповідно в зазначеній фігурі АВСД сторона з буде заввишки. Тоді, знаючи довжину всіх 3-х сторін, можна знайти площу фігури S = 0,5 * (а + в) * с.

Найпростіша формула виглядає наступним чином: S = к * h, де к - це довжина середньої лінії трапеції, h - її висота. Проблема в тому, що на практиці виміряти довжину підстав простіше, ніж знайти середню лінію. А знаходиться вона таким чином:

Дано: нерівносторонні, непрямокутних трапеція АВСД, в якій сторони АВ і СД є підставами. Перед тим як знайти площу трапеції, слід відрізки АС і ВД розділити на 2 рівні частини, позначивши точки перетину буквами Г і К. Тоді пряма ГК, проведена паралельно підстав, і буде середньою лінією трапеції m.

Ще один окремий випадок - коли трапеція рівнобічна. Для неї підійдуть всі зазначені формули (звичайно, крім формул для прямокутної). Її площа можна визначити, знаючи кут між основами. Формула виглядає наступним чином: S = (а + в) * с * sin (х) * 0,5, де а і в - довжина підстав, с- довжина бокової сторони, а х - кут між ними.

Іноді виникає необхідність визначити площу даної фігури не тільки в геометрії, а й в алгебрі по системі координат. У зв`язку з цим в учнів виникає питання, як знайти площу трапеції по координатах. Принцип обчислення той же самий - визначають довжини сторін, як різницю координат точок підстав, обчислюється висота і по першій формулі розраховується площу. Висотою вважатиметься пряма, проведена від кута однієї з підстав до іншого основи.

Для визначення площі криволінійної трапеції користуються інтегралом.