Як знайти площу рівнобедреного трикутника

Іноді питання, як знайти площа рівнобедреного трикутника, встає не тільки перед школярами або студентами, але й у реальному, практичному житті. Наприклад, під час будівництва виникає необхідність обробки фасадної частини, що знаходиться під дахом. Як обчислити кількість потрібного матеріалу?

Часто з подібними завданнями стикаються майстри, які працюють з тканиною або шкірою. Адже багато деталей, які належить викроїти майстру, мають якраз форму рівнобедреного трикутника.

Отже, існує кілька способів, що допомагають знайти площу рівнобедреного трикутника. Перший - обчислення її по підставі і висоті.

Для вирішення нам необхідно побудувати для наочності трикутник MNP з основою MN і висотою PO. Тепер дещо добудуємо в кресленні: з точки P провести лінію, паралельну основи, а з точки M - лінію, паралельну висоті. Точку перетину назвемо Q. Щоб дізнатися, як знайти площу рівнобедреного трикутника, потрібно розглянути отриманий чотирикутник MOPQ, в якому бічна сторона даного нам трикутника MP є вже його діагоналлю.

Доведемо спочатку, що це прямокутник. Так як ми будували його самі, то знаємо, що сторони MO і OQ паралельні. І сторони QM і OP теж паралельні. Кут POM прямий, значить і кут OPQ теж прямій. Отже, отриманий чётирёхугольнік є прямокутником. Знайти його площу не складе труднощів, вона дорівнює добутку PO на OM. OM - це половина підстави даного трикутника MPN. Звідси випливає, що площа побудованого нами прямокутника дорівнює полупроізведенію висоти прямокутного трикутника на його основу.

Другим етапом поставленого перед нами завдання, як визначити площу трикутника, є доказ того факту, що отриманий нами прямокутник за площею відповідає даному рівнобедреного трикутника, тобто, що площа трикутника також дорівнює полупроізведенію основи і висоти.

Порівняємо для початку трикутник PON і PMQ. Вони обидва прямокутні, так як прямий кут в одному з них утворений висотою, а прямий кут в іншому є кутом прямокутника. Гіпотенузи в них є сторонами рівнобедреного трикутника, отже, також рівні. Катети PO і QM також рівні як паралельні сторони прямокутника. Значить, і площа трикутника PON, і трикутника PMQ рівні між собою.

Площа прямокутника QPOM дорівнює площам трикутників PQM і MOP в сумі. Замінивши надбудований трикутник QPM трикутником PON, отримуємо в сумі даний нам для виведення теореми трикутник. Тепер ми знаємо, як знайти площу рівнобедреного трикутника по підставі і висоті - обчислити їх полупроізведеніе.

Але можна дізнатися, як знайти площу рівнобедреного трикутника по підставі і бічній стороні. Тут також існує два варіанти: теорема Герона і Піфагора. Розглянемо рішення із застосуванням теореми Піфагора. Для прикладу візьмемо той же трикутник PMN з висотою PO.

У прямокутному трикутнику POM MP - гіпотенуза. Її квадрат дорівнює сумі квадратів PO і OM. А так як OM - половина підстави, яке нам відомо, то ми легко може знайти OM і звести число в квадрат. Зробивши віднімання з квадрата гіпотенузи отримане число, дізнаємося, чому дорівнює квадрат іншого катета, який в трикутник є заввишки. Знайшовши квадратний корінь з різниці і дізнавшись висоту прямокутного трикутника, можна дати відповідь на поставлене перед нами завдання.

Потрібно просто перемножити висоту на основу і отриманий результат розділити навпіл. Чому саме так слід чинити, ми пояснили в першому варіанті докази.

Буває, що потрібно зробити обчислення по бічній стороні і куті. Тоді знаходимо висоту і підстава, використовуючи формулу з синусами і косинусами, і, знову ж таки, перемножуємо їх і ділимо результат навпіл.