Прорахувати все можна. Елементи комбінаторики

Устрій світу передбачає наявність величезної кількості різноманітних явищ і предметів. При цьому наука доводить, що в основі цього достатку лежить набір певної кількості складових частин. З`єднуючись в різному порядку, ці цеглинки стають основою для архітектурних побудов оточуючого нас світу. Вивченням кількості всіх можливих варіантів поєднання з різних складових частин займається математика, зокрема, її розділ, іменований комбінаторикою.

Так, в якості об`єктів вивчення приймаються дискретні величини, безлічі (перестановки, поєднання, перерахування та розміщення елементів), а також відносини на них (як варіант, часткового порядку). Елементи комбінаторики мають тісний зв`язок з геометрією і алгеброю, вони практично стали основою для розрахунків в теорії ймовірностей. Найширший спектр різних областей знань неможливо собі уявити без використання цієї галузі науки. Найбільш затребуваним цей розділ математики став у статистичній фізиці, генетиці та інформатики.

А початок своє термін «комбінаторика» бере з 1666. У своїй праці «Міркування про комбинаторном мистецтві» математик Лейбніц заклав основу для подальшого розвитку цього розділу математики.

Дуже часто, вживаючи термін «комбінаторика», беруть до уваги куди більш широкий розділ дискретної математики, який включає, наприклад, теорію графів.

Елементи комбінаторики часто представляють як моделі комбінаторних конфігурацій. Розміщення, перестановка, поєднання, композиція і розбиття числа є основними складовими, в яких знайшлося втілення принципів цього розділу математики.

Розміщення - це упорядкований набір з певної кількості складових, що належать деякому безлічі, з чітко певним кількістю елементів. Перестановкою називають строго упорядкований набір з фіксованої кількості елементів. Комбінаторика поєднання - це набір із взятого кількості елементів, що входять до складу даних. Набори мають відмінності лише по порядку проходження елементів, але складом вони однакові, в цьому полягає різниця між поєднанням і розміщенням. Кількість сполучень залежить від розміру набору і кількості елементів, що становлять безліч, з якого беруться числа для складання зазначеної комбінаторної моделі.

Розглядаючи поняття композиції числа, приймають його всяке уявлення як суму, упорядковану з цілих позитивних чисел. А ось розбиття числа - це будь-яке його уявлення як невпорядкованою суми цілих позитивних чисел.

Елементи комбінаторики знайшли широке застосування в самих різних галузях знань. При цьому сама ж ця частина математики пройшла настільки разюча розвиток, що дала можливість весь накопичений інформаційний багаж в цій сфері виділити в розділи.

Розглядаючи розділ дисципліни під назвою «перелічувальна комбінаторика» (обчислюється), беруть до уваги перерахування або підрахунок кількості всіх можливих конфігурацій (наприклад, перестановок), які утворюються з елементів кінцевих множин. При цьому можливе накладення певних обмежень. Сюди входить непомітність або различимость елементів, дозвіл повтору з однакових елементів тощо.

Щоб порахувати кількість конфігурацій, використовують класичні правила множення і додавання. Елементи комбінаторики з даного розділу дисципліни застосовуються для вирішення широкого спектру найрізноманітніших завдань.

В структурну комбинаторику додався ряд питань теорії графів, простежується вплив теорії матроідов. Серед розділів дисципліни також виділяється екстремальна комбінаторика, теорія Рамсея, імовірнісна, топологічна, інфінітарная комбінаторика.