Комбінаторна задача. Найпростіші комбінаторні задачі. Комбінаторні задачі: приклади

Викладачі математики знайомлять своїх учнів з поняттям «комбінаторна задача» ще в п`ятому класі. Це необхідно для того, щоб вони зуміли надалі працювати з більш складними завданнями. Під комбінаторних задач можна розуміти можливість вирішити її за допомогою перебору елементів кінцевого безлічі.

Головною ознакою завдань такого порядку є питання до них, який звучить як «Скільки варіантів?» Або «Скількома способами?» Рішення комбінаторних задач безпосередньо залежить від того, чи зрозумів вирішальний їх зміст, чи зумів він правильно уявити дію або процес, які були описані в завданні.

Як вирішити комбінаторну задачу?

Важливо коректно визначити тип усіх наявних в розглянутій задачі з`єднань, але при цьому необхідно провести перевірку щодо того, чи є в ній повтори елементів, змінюються чи самі елементи, чи грає велику роль їх порядок, а також щодо деяких інших факторів.

Комбінаторна задача може мати цілий ряд обмежень, які можуть бути накладені на з`єднання. У цьому випадку знадобиться прорахувати повністю її рішення і перевірити, чи справляють ці обмеження будь-який вплив на з`єднання всіх елементів. Якщо вплив дійсно є, необхідно перевірити, яке саме.

З чого почати?

Для початку необхідно навчитися вирішувати найпростіші комбінаторні задачі. Оволодіння простим матеріалом дозволить навчитися розбиратися в більш складних завданнях. Рекомендується спочатку почати вирішувати завдання з обмеженнями, які не враховуються при розгляді більш простого варіанту.

Також рекомендується спробувати вирішувати спочатку ті завдання, в яких потрібно розглядати меншу кількість спільних елементів. Таким чином ви зможете зрозуміти принцип створення вибірок і навчитися надалі самостійно створювати їх. Якщо завдання, для якої необхідно використовувати комбинаторику, складається з комбінації декількох більш простих, рекомендується вирішувати її по частинах.

Рішення комбінаторних задач

Такі завдання можуть здатися простими в рішенні, однак комбінаторика досить складна для освоєння, деякі з них не мають рішення вже протягом останніх сотень років. Однією з найвідоміших завдань є визначення кількості магічних квадратів спеціального порядку, коли число n більше 4.

Комбінаторна задача тісно пов`язана з теорією ймовірності, яка з`явилася ще в середньовічні часи. Ймовірність походження тієї чи іншої події можна обчислити тільки з використанням комбінаторики, в даному випадку знадобиться чергувати всі фактори місцями, щоб отримати оптимальне рішення.

Рішення задач

Комбінаторні задачі з рішенням використовуються для навчання учнів та студентів роботі з даним матеріалом. Якщо ж говорити в цілому, вони повинні викликати у людини інтерес і бажання знайти спільне рішення. Крім математичних розрахунків, необхідно застосовувати розумове напруження і використовувати здогад.

У процесі вирішення поставлених завдань дитина зможе розвинути у себе математичне уяву і комбінаторні здібності, це може серйозно нагоді йому в подальшому. Поступово рівень складності розв`язуваних завдань необхідно підвищувати, щоб не забувати наявні знання і додавати до них нові.

Спосіб 1. Перебір

Методи вирішення комбінаторних завдань дуже сильно відрізняються один від одного, але всі вони можуть бути використані учнем для отримання відповіді. Одним з найпростіших, але в той же час і найдовших способів є перебір. При ньому необхідно просто перебрати всі можливі варіанти рішення, що не складаючи будь-яких схем і таблиць.

Як правило, питання в такій задачі пов`язаний з можливими варіантами походження тієї чи іншої події, наприклад: які числа можна скласти за допомогою цифр 2, 4, 8, 9? Шляхом перебору всіх варіантів складається відповідь, що складається з можливих комбінацій. Такий спосіб прекрасно підходить, якщо кількість можливих варіантів порівняно невелике.

Спосіб 2. Дерево з варіантів

Деякі комбінаторні задачі можна вирішити, лише складаючи схеми, в яких буде детально вказана інформація про кожному елементі. Складання дерева можливих варіантів - ще один спосіб знаходження відповіді. Він підходить для вирішення не дуже-то складних завдань, в яких є додаткова умова.

Приклад такого завдання:

• Які п`ятизначні числа можна скласти з цифр 0, 1, 7, 8? Для вирішення знадобиться побудувати дерево з усіх можливих комбінацій, при цьому мається додаткова умова - число не може починатися з нуля. Таким чином, відповідь буде складатися з усіх чисел, які будуть починатися з 1, 7 або 8.

Спосіб 3. Формування таблиць

Рішення комбінаторних завдань можна виконати і за допомогою таблиць. Вони схожі з деревом можливих варіантів, оскільки пропонують наочне рішення ситуації. Для знаходження правильної відповіді потрібно сформувати таблицю, причому вона буде дзеркальною: горизонтальні і вертикальні умови будуть однаковими.

Можливі варіанти відповідей будуть виходити на перетині стовпців і рядків. При цьому відповіді на перетині шпальти і рядки з однаковими даними виходити не будуть, ці перетину необхідно особливо помітити, щоб не заплутатися при складанні підсумкового відповіді. Цей спосіб не дуже-то часто вибирається учнями, багато хто віддає перевагу дереву з варіантами.

Спосіб 4. Множення

Є ще один спосіб, за допомогою якого можна вирішити комбінаторні задачі, - правило множення. Він чудово підходить в тому випадку, коли за умовою не потрібно перераховувати всі можливі варіанти рішення, необхідно просто знайти їх максимальну кількість. Цей метод єдиний у своєму роді, ним користуються дуже часто, коли тільки починають вирішувати комбінаторні задачі.

Приклад такого завдання може виглядати наступним чином:

• 6 осіб очікують іспиту в коридорі. Скільки способів можна використовувати, щоб розташувати їх у загальному списку? Для отримання відповіді необхідно уточнити, скільки їх них може бути на першому місці, скільки на другому, на третьому і т. Д. Відповіддю буде число 720.

Комбінаторика і її види

Комбінаторна задача не є тільки лише шкільним матеріалом, студенти вузів також вивчають її. У науці існує кілька видів комбінаторики, і в кожного з них є власна місія. Перелічувальна комбінаторика повинна розглядати завдання на перерахування і підрахунок можливих конфігурацій з додатковими умовами.

Структурна комбінаторика є компонентом вузівської програми, в ній вивчаються теорії матроідов і графів. Екстремальна комбінаторика також має відношення до вузівського матеріалу, і тут є свої індивідуальні обмеження. Ще один розділ - теорія Рамсея, що займається вивченням структур у випадкових варіаціях елементів. Існує і лінгвістична комбінаторика, яка займається розглядом питання про сполучуваність тих чи інших елементів між собою.

Методика викладання комбінаторних задач

Згідно навчальними планами, вік учнів, який розрахований на первинне знайомство з даним матеріалом і на рішення комбінаторних завдань, - 5 клас. Саме там вперше дана тема пропонується на розгляд учням, вони знайомляться з явищем комбінаторності і намагаються вирішувати поставлені перед ними завдання. При цьому дуже важливо, щоб при постановці комбінаторної задачі використовувався метод, коли діти самі займаються пошуком відповідей на питання.

Крім усього іншого, після вивчення зазначеної теми буде набагато легше вводити поняття факторіала і використовувати його при вирішенні рівнянь, задач та ін. Таким чином, комбінаторність відіграє важливу роль при отриманні подальшої освіти.

Комбінаторні задачі: навіщо вони потрібні?

Якщо ви знаєте, що таке комбінаторні задачі, то ніяких складнощів з їх вирішенням ви відчувати не будете. Методика їх вирішення може стати в нагоді при необхідності складання розкладів, графіків роботи, а також складних математичних обчислень, для виконання яких не підійдуть електронні пристрої.

У школах з поглибленим вивченням математики та інформатики комбінаторні задачі вивчаються додатково, для цього складаються спецкурси, методичні посібники та завдання. Як правило, кілька завдань подібного типу можуть входити до складу Єдиного державного іспиту з математики, зазвичай їх «ховають» в частині С.

Як вирішити комбінаторну задачу швидко?

Дуже важливо зуміти розгледіти комбінаторну задачу швидко, оскільки вона може мати завуальоване формулювання, це особливо важливо при здачі ЄДІ, де кожна хвилина на рахунку. Випишіть окремо інформацію, яку ви бачите в тексті задачі, на листок, а потім спробуйте проаналізувати її з точки зору чотирьох відомих вам способів.

Якщо ви можете укласти інформацію в таблицю або іншу освіту, пробуйте її вирішувати. Якщо класифікувати її ви не можете, в цьому випадку краще всього залишити її ненадовго і перейти до вирішення іншої задачі, щоб не втрачати дорогоцінний час. Даній ситуації можна уникнути, якщо заздалегідь повирішувати деяку кількість завдань цього типу.

Де знайти приклади?

Єдине, що допоможе вам навчитися вирішувати комбінаторні задачі, - приклади. Їх ви можете знайти в спеціальних математичних збірниках, які продаються в магазинах освітньої літератури. Однак там можна знайти інформацію лише для студентів вузу, школярам доведеться шукати завдання додатково, як правило, для них завдання придумуються іншими вчителями.

Викладачі вузів вважають, що студентам необхідно тренуватися і постійно пропонують їм додаткову навчальну літературу. Одним з кращих збірок вважається «Методи дискретного аналізу у вирішенні комбінаторних задач», написаний в 1977 році і випускається неодноразово провідними видавництвами країни. Саме там можна знайти завдання, які були актуальні на той момент і залишаються актуальними сьогодні.

Що робити, якщо потрібно скласти комбінаторну задачу?

Найчастіше комбінаторні задачі необхідно складати викладачам, які зобов`язані навчити студентів мислити нешаблонно. Тут все буде залежати від творчого потенціалу укладача. Рекомендується звернути увагу на вже існуючі збірники та спробувати скласти завдання так, щоб вона поєднувала в собі відразу кілька способів її рішення і мала відмінні від книжкових дані.

Викладачі вузів в цьому плані набагато вільніше шкільних, вони часто дають своїм студентам завдання самим придумати комбінаторні задачі з докладними методами рішення і поясненнями. Якщо ви не належите ні до тих, ні до інших, можна попросити допомоги у тих, хто дійсно розбирається в питанні, а також найняти приватного репетитора. Одного академічної години достатньо для того, щоб скласти кілька подібних завдань.

Комбінаторика - наука майбутнього?

Багато фахівців в області математики і фізики вважають, що саме комбінаторна задача може стати поштовхом у розвитку всіх технічних наук. Достатньо лише нестандартно підійти до вирішення тих чи інших проблем, і тоді можна буде відповісти на питання, які вже кілька століть не дають спокою вченим. Деякі з них всерйоз стверджують, що комбінаторика є підмогою для всіх сучасних наук, особливо космонавтики. Набагато простіше буде вираховувати траєкторії польоту кораблів за допомогою комбінаторних задач, також вони дозволять визначити точне знаходження тих чи інших небесних світил.

Реалізація нестандартного підходу вже давно почалася в азіатських країнах, там учні навіть елементарні завдання по множенню, відніманню, додаванню і діленню вирішують, використовуючи комбінаторні методи. На диво багатьох європейських вчених, методика дійсно працює. Школи Європи поки що тільки почали переймати досвід своїх колег. Коли саме комбінаторика стане одним з основних розділів математики, припустити складно. Зараз наука вивчається провідними вченими планети, які прагнуть популяризувати її.